7 класс. Алгебра. Одночлены. Арифметические операции над одночленами.

Комментарии преподавателя

По­ня­тие од­но­чле­на. Стан­дарт­ный вид од­но­чле­на

Рас­смот­рим неко­то­рые при­ме­ры:

1. ;

2. ;

3. ;

Най­дем общие черты для при­ве­ден­ных вы­ра­же­ний. Во всех трех слу­ча­ях вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем чисел и пе­ре­мен­ных, воз­ве­ден­ных в сте­пень. На ос­но­ва­нии этого дадим опре­де­ле­ние од­но­чле­на:

од­но­чле­ном на­зы­ва­ют такое ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, ко­то­рое со­сто­ит из про­из­ве­де­ния сте­пе­ней и чисел.

Те­перь при­ве­дем при­ме­ры вы­ра­же­ний, не яв­ля­ю­щих­ся од­но­чле­на­ми:

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Най­дем от­ли­чие этих вы­ра­же­ний от преды­ду­щих. Оно со­сто­ит в том, что в при­ме­рах 4-7 есть опе­ра­ции сло­же­ния, вы­чи­та­ния или де­ле­ния, тогда как в при­ме­рах 1-3, яв­ля­ю­щих­ся од­но­чле­на­ми, этих опе­ра­ций нет.

При­ве­дем еще несколь­ко при­ме­ров:

8. ;

9. ;

Вы­ра­же­ние под но­ме­ром 8 яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, так как это про­из­ве­де­ние сте­пе­ни на число, тогда как при­мер 9 не яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном.

Те­перь вы­яс­ним дей­ствия над од­но­чле­на­ми.

1.Упро­ще­ние. Рас­смот­рим при­мер №3 ; и при­мер №2   /

Во вто­ром при­ме­ре мы видим толь­ко один ко­эф­фи­ци­ент -  , каж­дая пе­ре­мен­ная встре­ча­ет­ся толь­ко один раз, то есть пе­ре­мен­ная «а» пред­став­ле­на в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре, как «», ана­ло­гич­но пе­ре­мен­ные «» и «» встре­ча­ют­ся толь­ко один раз.

В при­ме­ре №3 на­о­бо­рот, есть два раз­лич­ных ко­эф­фи­ци­ен­та –  и , пе­ре­мен­ную «» мы видим два­жды – как «» и как «», ана­ло­гич­но пе­ре­мен­ная «» встре­ча­ет­ся два раза. То есть, дан­ное вы­ра­же­ние сле­ду­ет упро­стить, таким об­ра­зом, при­хо­дим к пер­во­му дей­ствию, вы­пол­ня­е­мо­му над од­но­чле­на­ми – при­ве­де­ние од­но­чле­на к стан­дарт­но­му виду. Для этого при­ве­дем к стан­дарт­но­му виду вы­ра­же­ние из при­ме­ра 3, затем опре­де­лим эту опе­ра­цию и на­учим­ся при­во­дить к стан­дарт­но­му виду любой од­но­член.

Итак, рас­смот­ри при­мер:

Пер­вым дей­стви­ем в опе­ра­ции при­ве­де­ния к стан­дарт­но­му виду все­гда нужно пе­ре­мно­жить все чис­ло­вые мно­жи­те­ли:

  ;

Ре­зуль­тат дан­но­го дей­ствия будет на­зы­вать­ся ко­эф­фи­ци­ен­том од­но­чле­на.

Далее необ­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить сте­пе­ни. Пе­ре­мно­жим сте­пе­ни пе­ре­мен­ной «х» со­глас­но пра­ви­лу умно­же­ния сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми, в ко­то­ром го­во­рит­ся, что при умно­же­нии по­ка­за­те­ли сте­пе­ни скла­ды­ва­ют­ся:

;

те­перь пе­ре­мно­жим сте­пе­ни «у»:

;

Итак, при­ве­дем упро­щен­ное вы­ра­же­ние:

;

Даль­ше упро­стить дан­ное вы­ра­же­ние нель­зя, такое вы­ра­же­ние и на­зы­ва­ет­ся стан­дарт­ным видом ис­ход­но­го од­но­чле­на, где  это ко­эф­фи­ци­ент од­но­чле­на, а – это бук­вен­ная часть.

 

Любой од­но­член можно при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду. Сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло при­ве­де­ния к стан­дарт­но­му виду:

- пе­ре­мно­жить все чис­ло­вые мно­жи­те­ли;

- по­ста­вить по­лу­чен­ный ко­эф­фи­ци­ент на пер­вое место;

- пе­ре­мно­жить все сте­пе­ни, то есть по­лу­чить бук­вен­ную часть;

То есть, любой од­но­член ха­рак­те­ри­зу­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том и бук­вен­ной ча­стью. За­бе­гая впе­ред, от­ме­тим, что од­но­чле­ны, име­ю­щие оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть, на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми.

Те­перь нужно на­ра­бо­тать тех­ни­ку при­ве­де­ния од­но­чле­нов к стан­дарт­но­му виду. Рас­смот­ри при­ме­ры из учеб­ни­ка:

За­да­ние: при­ве­сти од­но­член к стан­дарт­но­му виду, на­звать ко­эф­фи­ци­ент и бук­вен­ную часть.

Для вы­пол­не­ния за­да­ния вос­поль­зу­ем­ся пра­ви­лом при­ве­де­ния од­но­чле­на к стан­дарт­но­му виду и свой­ства­ми сте­пе­ней.

1. ;

2. ;

3. ;

Ком­мен­та­рии к пер­во­му при­ме­ру: Для на­ча­ла опре­де­лим, дей­стви­тель­но ли дан­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, для этого про­ве­рим, есть ли в нем опе­ра­ции умно­же­ния чисел и сте­пе­ней и нет ли в нем опе­ра­ций сло­же­ния, вы­чи­та­ния или де­ле­ния. Можем ска­зать, что дан­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, так как вы­ше­ука­зан­ное усло­вие вы­пол­ня­ет­ся. Далее, со­глас­но пра­ви­лу при­ве­де­ния од­но­чле­на к стан­дарт­но­му виду, пе­ре­мно­жим чис­лен­ные мно­жи­те­ли:

 – мы нашли ко­эф­фи­ци­ент за­дан­но­го од­но­чле­на;

Далее пе­ре­мно­жим между собой со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни:

; ; ; то есть, по­лу­че­на бук­вен­ная часть вы­ра­же­ния:;

за­пи­шем ответ: ;

Ком­мен­та­рии ко вто­ро­му при­ме­ру: Сле­дуя пра­ви­лу вы­пол­ня­ем:

1) пе­ре­мно­жить чис­ло­вые мно­жи­те­ли:

;

2) пе­ре­мно­жить сте­пе­ни:

Пе­ре­мен­ные  и  пред­став­ле­ны в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре, то есть их пе­ре­мно­жить ни с чем нель­зя, они пе­ре­пи­сы­ва­ют­ся без из­ме­не­ний, сте­пень  пе­ре­мно­жа­ет­ся:

;

за­пи­шем ответ:

;

В дан­ном при­ме­ре ко­эф­фи­ци­ент од­но­чле­на равен еди­ни­це, а бук­вен­ная часть .

Ком­мен­та­рии к тре­тье­му при­ме­ру: ана­ло­гич­но преды­ду­щим при­ме­рам вы­пол­ня­ем дей­ствия:

1) пе­ре­мно­жить чис­лен­ные мно­жи­те­ли:

;

2) пе­ре­мно­жить сте­пе­ни:

;

;

;

;

вы­пи­шем ответ: ;

В дан­ном слу­чае ко­эф­фи­ци­ент од­но­чле­на равен «», а бук­вен­ная часть .          

Вычисление числового значения одночлена.

Те­перь рас­смот­рим вто­рую стан­дарт­ную опе­ра­цию над од­но­чле­на­ми. По­сколь­ку од­но­член это ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, со­сто­я­щее из бук­вен­ных пе­ре­мен­ных, ко­то­рые могут при­ни­мать кон­крет­ные чис­ло­вые зна­че­ния, то мы имеем ариф­ме­ти­че­ское чис­ло­вое вы­ра­же­ние, ко­то­рое сле­ду­ет вы­чис­лить. То есть, сле­ду­ю­щая опе­ра­ция над мно­го­чле­на­ми со­сто­ит в вы­чис­ле­нии их кон­крет­но­го чис­ло­во­го зна­че­ния.

Рас­смот­рим при­мер. Задан од­но­член:

дан­ный од­но­член уже при­ве­ден к стан­дарт­но­му виду, его ко­эф­фи­ци­ент равен еди­ни­це, а бук­вен­ная часть 

Ранее мы го­во­ри­ли, что ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние не все­гда можно вы­чис­лить, то есть пе­ре­мен­ные, ко­то­рые в него вхо­дят, могут при­ни­мать не любое зна­че­ние. В слу­чае од­но­чле­на же вхо­дя­щие в него пе­ре­мен­ные могут быть лю­бы­ми, это яв­ля­ет­ся осо­бен­но­стью од­но­чле­на. 

Итак, в за­дан­ном при­ме­ре тре­бу­ет­ся вы­чис­лить зна­че­ние од­но­чле­на при , , , .

Вы­пол­ним дей­ствия:

 ;

Для вы­чис­ле­ния мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что  в любой чет­ной сте­пе­ни равно еди­ни­це.

То есть, за­дан­ный од­но­член при за­дан­ных зна­че­ни­ях бук­вен­ных пе­ре­мен­ных будет при­ни­мать рас­счи­тан­ное нами зна­че­ние.

Рас­смот­рим еще один при­мер. Од­но­член оста­ет­ся тот же самый, но зна­че­ния бук­вен­ных пе­ре­мен­ных из­ме­ни­лись:

;

;

вы­пол­ним вы­чис­ле­ние:

.

Подобные одночлены.

Рас­смот­рим при­ме­ры по­доб­ных од­но­чле­нов:

Од­но­чле­ны  и  яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми, так как имеют оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть - 

Еще один при­мер. За­пи­шем од­но­член  и од­но­член . Мы можем при­пи­сать вто­ро­му од­но­чле­ну аб­со­лют­но любой чис­лен­ный ко­эф­фи­ци­ент и по­лу­чим од­но­член, по­доб­ный пер­во­му. Вы­бе­рем, на­при­мер, ко­эф­фи­ци­ент  и по­лу­чим два по­доб­ных од­но­чле­на:  и 

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер. Пер­вый од­но­член , его ко­эф­фи­ци­ент равен еди­ни­це. За­пи­шем те­перь его бук­вен­ную часть  и до­ба­вим к ней про­из­воль­ный чис­лен­ный ко­эф­фи­ци­ент, на­при­мер, . Имеем два по­доб­ных од­но­чле­на:   и .

Сде­ла­ем вывод: по­доб­ные од­но­чле­ны имеют оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть, и такие од­но­чле­ны можно скла­ды­вать и вы­чи­тать.

Сложение одночленов.

Те­перь при­ве­дем при­ме­ры не по­доб­ных од­но­чле­нов:

 и ; дан­ные од­но­чле­ны имеют раз­ную бук­вен­ную часть, пе­ре­мен­ная а в них пред­став­ле­на в раз­ных сте­пе­нях, по­это­му од­но­чле­ны не яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми

Еще один при­мер: од­но­чле­ны  и  также не яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми, их бук­вен­ные части от­ли­ча­ют­ся сте­пе­ня­ми пе­ре­мен­ной а.

Рас­смот­рим тре­тью пару од­но­чле­нов:  и  также не яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми.

Те­перь раз­бе­рем сло­же­ние по­доб­ных од­но­чле­нов, для этого вы­пол­ним при­мер:

Сло­жить два од­но­чле­на:

Оче­вид­но, что дан­ные од­но­чле­ны по­доб­ны, так как легко за­ме­тить, что бук­вен­ные части их оди­на­ко­вы, од­на­ко ма­те­ма­ти­че­ски по­до­бие од­но­чле­нов можно до­ка­зать за­ме­нив бук­вен­ную часть дру­гой бук­вой, и если для обоих од­но­чле­нов эта буква ока­жет­ся оди­на­ко­вой, то од­но­чле­ны по­доб­ны. Пе­ре­хо­дя к при­ме­ру, за­ме­ним в пер­вом од­но­члене  на ? Тогда и во вто­ром од­но­члене ту же самую бук­вен­ную часть за­ме­ним на  

По­лу­чим:

Сло­жив два эти вы­ра­же­ния, по­лу­чим . Те­перь вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным – за­ме­ним в от­ве­те пе­ре­мен­ную t на , по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ответ:

Те­перь сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния од­но­чле­нов:

Для того чтобы по­лу­чить сумму по­доб­ных од­но­чле­нов необ­хо­ди­мо сло­жить их ко­эф­фи­ци­ен­ты, а бук­вен­ную часть до­пи­сать такую же, как у ис­ход­ных сла­га­е­мых.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

1) 

2) 

Ком­мен­та­рий к при­ме­ру №1: сна­ча­ла мы за­пи­сы­ва­ем в ре­зуль­тат сумму ко­эф­фи­ци­ен­тов од­но­чле­нов, то есть , затем пе­ре­пи­сы­ва­ем бук­вен­ную часть без из­ме­не­ний, то есть 

Ком­мен­та­рий к при­ме­ру №2: ана­ло­гич­но пер­во­му при­ме­ру сна­ча­ла за­пи­сы­ва­ем сумму ко­эф­фи­ци­ен­тов, то есть , затем пе­ре­пи­сы­ва­ем бук­вен­ную часть без из­ме­не­ний - .

Вычитание одночленов.

Перей­дем к пра­ви­лу вы­чи­та­ния од­но­чле­нов. Рас­смот­ри при­ме­ры:

1) 

Пра­ви­ло вы­чи­та­ния по­доб­ных од­но­чле­нов ана­ло­гич­но пра­ви­лу сло­же­ния: бук­вен­ную часть пе­ре­пи­сы­ва­ем без из­ме­не­ний, а ко­эф­фи­ци­ен­ты вы­честь, при чем вы­честь в пра­виль­ном по­ряд­ке. Для на­ше­го при­ме­ра:

2) 

3) 

 

Сде­ла­ем вывод: скла­ды­вать и вы­чи­тать можно любые, но толь­ко по­доб­ные од­но­чле­ны, для этого нужно скла­ды­вать или вы­чи­тать их ко­эф­фи­ци­ен­ты, бук­вен­ную часть пе­ре­пи­сы­вая в ис­ход­ном виде. Не по­доб­ные од­но­чле­ны ни скла­ды­вать, ни вы­чи­тать нель­зя.

Решение задач

Те­перь, зная ал­го­ритм сло­же­ния и вы­чи­та­ния по­доб­ных од­но­чле­нов, мы можем ре­шать неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи.

За­да­чи на упро­ще­ние:

Упро­стить вы­ра­же­ние:

Пер­вый од­но­член за­пи­сан в стан­дарт­ном виде, его боль­ше упро­стить нель­зя, вто­рой и тре­тий не в стан­дарт­ном виде, зна­чит, пер­вым дей­стви­ем при упро­ще­нии вы­ра­же­ний с од­но­чле­на­ми вы­пол­ня­ем при­ве­де­ние к стан­дарт­но­му виду од­но­чле­нов, ко­то­рые можно к нему при­ве­сти.

Итак, при­ве­дем к стан­дарт­но­му виду вна­ча­ле вто­рой, а потом и тре­тий од­но­чле­ны:

Пе­ре­пи­шем ис­ход­ное вы­ра­же­ние с уче­том вы­пол­нен­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

Мы видим оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть у всех трех од­но­чле­нов, а, зна­чит, они по­доб­ны, то есть мы имеем право скла­ды­вать их и вы­чи­тать. Со­глас­но пра­ви­лу, мы вы­пол­ним необ­хо­ди­мые дей­ствия с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, а бук­вен­ную часть пе­ре­пи­шем без из­ме­не­ний:

Разложение одночлена на слагаемые

Су­ще­ству­ет об­рат­ная за­да­ча. Задан од­но­член . Пред­ста­вить од­но­член в виде суммы од­но­чле­нов.

У всех од­но­чле­нов, в виде суммы ко­то­рых мы пред­ста­вим за­дан­ный, будет оди­на­ко­вая бук­вен­ная часть, оди­на­ко­вая также и с за­дан­ным од­но­чле­ном - . Пред­ста­вим наш од­но­член, на­при­мер, в виде суммы двух сла­га­е­мых. Для этого пред­ста­вим ко­эф­фи­ци­ент как сумму:

А те­перь за­пи­шем по­лу­чен­ное пред­став­ле­ние: сна­ча­ла пишем пер­вое сла­га­е­мое, умно­жен­ное на бук­вен­ную часть, а затем вто­рое также умно­жен­ное на бук­вен­ную часть:

Дан­ная за­да­ча имеет бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство ре­ше­ний, так как число 30 можно пред­ста­вить по-раз­но­му, на­при­мер:

Тогда:

Сложение подобных слагаемых

Рас­смот­рим еще один вид ти­по­вых задач: среди дан­ных од­но­чле­нов найти по­доб­ные и сло­жить их:

; ; ; 

Оче­вид­но, что оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть имеют пер­вый, вто­рой и по­след­ний од­но­чле­ны. Те­перь вы­пол­ним сло­же­ние:

;

 

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/ponyatie-odnochlena-standartnyy-vid-odnochlena?konspekt&chapter_id=3

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/slozhenie-i-vychitanie-odnochlenov?konspekt&chapter_id=3

 

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=zhnEcO0CHRw

Файлы