7 класс. Алгебра. Одночлены. Арифметические операции над одночленами.
7 класс. Алгебра. Одночлены. Арифметические операции над одночленами.
Комментарии преподавателя
Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
Рассмотрим некоторые примеры:
1. ;
2. ;
3. ;
Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена:
одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.
Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.
Приведем еще несколько примеров:
8. ;
9. ;
Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.
Теперь выясним действия над одночленами.
1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ; и пример №2 /
Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а» представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.
В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента – и , переменную «» мы видим дважды – как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами – приведение одночлена к стандартному виду. Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.
Итак, рассмотри пример:
Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:
;
Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена.
Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х» согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:
;
теперь перемножим степени «у»:
;
Итак, приведем упрощенное выражение:
;
Дальше упростить данное выражение нельзя, такое выражение и называется стандартным видом исходного одночлена, где это коэффициент одночлена, а – это буквенная часть.
Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду:
- перемножить все числовые множители;
- поставить полученный коэффициент на первое место;
- перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;
То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду. Рассмотри примеры из учебника:
Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.
Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.
1. ;
2. ;
3. ;
Комментарии к первому примеру: Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:
– мы нашли коэффициент заданного одночлена;
Далее перемножим между собой соответствующие степени:
; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;
запишем ответ: ;
Комментарии ко второму примеру: Следуя правилу выполняем:
1) перемножить числовые множители:
;
2) перемножить степени:
Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:
;
запишем ответ:
;
В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .
Комментарии к третьему примеру: аналогично предыдущим примерам выполняем действия:
1) перемножить численные множители:
;
2) перемножить степени:
;
;
;
;
выпишем ответ: ;
В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .
Вычисление числового значения одночлена.
Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами. Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения.
Рассмотрим пример. Задан одночлен:
данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть
Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.
Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .
Выполним действия:
;
Для вычисления мы воспользовались тем, что в любой четной степени равно единице.
То есть, заданный одночлен при заданных значениях буквенных переменных будет принимать рассчитанное нами значение.
Рассмотрим еще один пример. Одночлен остается тот же самый, но значения буквенных переменных изменились:
;
;
выполним вычисление:
.
Подобные одночлены.
Рассмотрим примеры подобных одночленов:
Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -
Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и
Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .
Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.
Сложение одночленов.
Теперь приведем примеры не подобных одночленов:
и ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными
Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.
Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.
Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:
Сложить два одночлена:
Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на
Получим:
Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным – заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:
Теперь сформулируем правило сложения одночленов:
Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.
Рассмотрим примеры:
1)
2)
Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть
Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений - .
Вычитание одночленов.
Перейдем к правилу вычитания одночленов. Рассмотри примеры:
1)
Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:
2)
3)
Сделаем вывод: складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.
Решение задач
Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.
Задачи на упрощение:
Упростить выражение:
Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.
Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:
Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:
Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:
Разложение одночлена на слагаемые
Существует обратная задача. Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.
У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом - . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму:
А теперь запишем полученное представление: сначала пишем первое слагаемое, умноженное на буквенную часть, а затем второе также умноженное на буквенную часть:
Данная задача имеет бесконечное количество решений, так как число 30 можно представить по-разному, например:
Тогда:
Сложение подобных слагаемых
Рассмотрим еще один вид типовых задач: среди данных одночленов найти подобные и сложить их:
; ; ;
Очевидно, что одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены. Теперь выполним сложение:
;
Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/ponyatie-odnochlena-standartnyy-vid-odnochlena?konspekt&chapter_id=3
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/slozhenie-i-vychitanie-odnochlenov?konspekt&chapter_id=3
Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=zhnEcO0CHRw