6 класс. Математика. Положительные и отрицательные числа
6 класс. Математика. Положительные и отрицательные числа
Комментарии преподавателя
Введение
Вспомним, какие числа вы уже знаете. Начинали вы изучение с натуральных чисел, тех чисел, которые мы используем при счете, таких как 1, 2, 3, 4... и т. д. Потом выяснили, что таких чисел нам не хватает. Например, если разделить отрезок длины 1 пополам, то длина получившегося отрезка будет не целой. Так мы познакомились с дробными числами, такими как 
, 
, 
. Итак, мы вспомнили, что есть натуральные и есть дробные числа, но выясняется, что и их не хватает. Рассмотрим это на примере.
Пример 1
У вас есть 40 руб. и вы хотите купить мороженое за 20 руб. Сколько денег у вас останется после покупки? (см. рис. 1).
Рис. 1. Мороженое за 20 руб.
Решение
Теперь представьте несколько иную ситуацию. У вас есть 20 руб., и вы хотите купить мороженое за 40 руб. Сколько тогда денег у вас останется? (см. рис. 2).
Рис. 2. Мороженое за 40 руб.
Решение
Можно решить по аналогии: 
.
Но 20 меньше 40. И имея 20 руб., мороженое за 40 руб. купить нельзя. Можно занять 20 руб. и только тогда купить мороженое. Но что после этого останется?
Останется долг в 20 руб. Выразить числом этот долг можно, вводя отрицательные числа.
Аналогичные предпосылки возникают и на числовой оси.
Пример 2
Рассмотрим числовую ось (см. рис. 3).
Рис. 3. Числовая ось
На ней отмечены натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. и начало в точке ноль. Также на соответствующих отрезках можем отметить числа , , и т. д. (см. рис. 4).
Рис. 4. Числовая ось
Что означает, 
Это мы к 1 прибавляем три единицы и попадаем в точку 4 (см. рис. 5).
Рис. 5. Числовая ось
Так, 
.
Точно так же мы можем сделать шаг в другую сторону. Например, что будет, если мы из 1 вычтем 3: 
? Мы попадем в пустоту (см. рис. 6).
Рис. 6. Числовая ось
Здесь и находятся отрицательные числа, которые нам, безусловно, понадобятся (см. рис. 7).
Рис. 7. Числовая ось
Теперь мы можем их ввести. Но как же обозначаются отрицательные числа? Для этого вспомним, как обозначаются натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д. (см. рис. 8).
Рис. 8. Числовая ось
Но что показывает число 2? Оно показывает, что от 0 до 2 помещается два единичных отрезка (см. рис. 9).
Рис. 9. Числовая ось
Если отложить такой же отрезок влево, мы получим расстояние от точки 0 ровно в один отрезок. Так мы получаем число 1. Но чтобы не путаться, для чисел слева придумали специальный знак «-», который мы ставим перед числом и получаем 
. Аналогично, следующее число будет 
и т. д. То есть, если натуральные числа у нас обозначаются как 1, 2, 3 и т. д., то отрицательные как -1, -2, -3.(см. рис. 10).
Рис. 10. Числовая ось
Есть число 
, для него существует противоположное число. Оно находится между -2 и -1 и равно - (см. рис. 11).
Рис. 11. Числовая ось
Вернемся к первому примеру. У нас было 20 руб. и мы потратили 40 руб., у нас осталось -20 руб.
Как действовать с отрицательными числами, как их складывать, вычитать и т. д. – это темы более поздних уроков. А сейчас давайте подумаем, где же в реальной жизни применяются отрицательные числа?
Температура воздуха
На некоторых уличных градусниках температура показывается так: есть планка ноль градусов, есть то, что выше нуля – 1, 2, 3, и т. д, а есть то, что ниже нуля, и обозначается отрицательными числами -1, -2, -3 и т. д. (см. рис. 12).
Рис. 12. Термометр
Еще -1 градус называют 1 градусом мороза, а +1 градус – одним градусом тепла. То есть и там, и там 1, но вместо знака минус мы употребляем слова «мороза». А когда не хотим употреблять, говорим: «Температура воздуха – -20 градусов» (см. рис. 13).
Рис. 13. Температура воздуха
Это и означает минус, что от нуля мы идем не вверх, а вниз.
Уровень воды в реке
Уровень воды в реке (см. рис. 14).
Рис. 14. Уровень воды в реке
Как вы знаете, уровень воды в реке может повышаться и понижаться. Так вот, если уровень воды повысился на 5 см, говорят: «Изменился на +5 см» (см. рис. 15).
Рис. 15. Уровень воды в реке
Если же он понизился на 5 см, то говорят «Уровень воды изменился на -5 см» (см. рис. 16).
Рис. 16. Уровень воды в реке
И там, и там уровень воды изменился на 5 см, но, когда он повысился, говорят на +5 см, а, когда понизился – на -5 см.
Как вы видите, отрицательные числа применяются там, где величина может изменяться в обе стороны. То есть, когда мы говорили о денежных расчетах, у вас может оставаться сдача – это «+», а если вы кому-то должны, то это «-». Температура может быть выше нуля – это «+», и ниже нуля – это «-». Уровень воды может повышаться – «+», и понижаться – «-».
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3
Предприниматель владеет фирмой по продаже яблок, и в январе он заработал чистой прибыли 500 руб., а в феврале – 800 руб. В марте яблоки покупали хуже, и он остался в убытке, а именно его прибыль составила -200 руб. (см. рис. 17).
Рис. 17. Денежный поток
Для того чтобы посчитать сумму, которую предприниматель заработал за 3 месяца, нужно сложить всю его прибыль (см. рис. 18):
Рис. 18. Денежный поток
Более подобно о действиях с отрицательными числами можно ознакомиться в следующих уроках.
Подведение итогов
Сегодня мы выяснили, что тех чисел, которые мы знали до этого – натуральных (1, 2, 3 … и т. д.) и дробных (, , 
), не хватает для некоторых практических целей, поэтому мы ввели отрицательные (-1, -2, -3… и т. д.).
Отрицательные числа на числовой оси находятся слева от нуля. Могут быть не только целые отрицательные числа, но и дробные. И мы выяснили, где могут возникать отрицательные числа, а именно там, где величина может быть увеличена и уменьшена. Так было при измерении температуры, уровня воды и измерении доходов и расходов.
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=HDcaAOUx11Q
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=mLvcIEXc6Pc
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=jLXv3JxCC5Y
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=BqIFyxrckm4
источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla.html
источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla/otritsatelnye-chisla