7 класс. Алгебра. Линейная функция.
7 класс. Алгебра. Линейная функция.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.
В предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида 
, 
. Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Рассмотрим пример:
Пример 1:
(1)
Перепишем его таким образом, чтобы у был в одной части, а все остальное в другой:
Сократим на 2:
Перенесем у в левую часть, а все остальное в правую:
(2)
Мы получили частный случай уравнения 1, в котором 
стоит обособленно в левой части, графиком обоих выражений будет одна и та же прямая, но запись 2 мы будем называть линейной функцией у от х.
Построим график данной функции, для этого составим таблицу:
|
х |
0 |
1,5 |
|
у |
-3 |
0 |
2. Выведение линейной функции и ее параметров в общем случае, введение новых терминов
Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:
Поскольку 
можем обе части поделить на b:
Введем более удобные обозначения:
, 
Получаем выражение:
(3)
Для примера №1 
, 
Таким образом, пара чисел k и m задают конкретную линейную функцию.
Введем некоторую терминологию. В линейной функции переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, мы сами можем выбирать произвольное значение х и по нему находить соответствующее значение у.
называют зависимой переменной или функцией.
Линейная функция характеризуется тем, что если задано значение х, можно сразу получить значение у. у – это линейная функция от х.
Найдем для линейной функции в общем виде (3) точки пересечения с осями. Для всех точек на оси у характерно то, что их абсцисса – координата х, равна нулю.
, 
;
Точка пересечения с осью у: (0, m)
Отсюда геометрический смысл переменной m – это ордината точки пересечения прямой 3 с осью у. Параметр m однозначно задает точку пересечения прямой 3 с осью ординат.
Параметр 
носит название угловой коэффициент.
Для всех точек на оси х характерно то, что их ордината равна нулю. Найдем точку пересечения нашей функции с осью х:
, 
, 
, 
Точка пересечения с осью х: (
)
3. Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции
Пример 2:
Построим графики двух линейных функций: 
(4), 
(5)
В функции 4 
В функции 5 
Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:
|
х |
0 |
-3 |
|
у |
m=3 |
0 |
Таблица для функции 4;
|
х |
0 |
3 |
|
у |
m=3 |
0 |
Таблица для функции 5;
Итак, из построения мы видим, что когда 
(прямая ) угол 
между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда 
(прямая ) угол 
между прямой и положительным направлением оси х тупой.
Корнем функции 4 является число -3, потому что именно при этом значении х функция обращается в ноль.
Корнем функции 5 является число 3, так как при данном значении х функция обращается в ноль.
Отметим, что решением следующей системы:
Является точка (0; 3).
4. Решение типовых задач
Пример 3 – найти k и m:
Задано линейное уравнение, так как х и у стоят в первой степени, с двумя переменными.
Чтобы найти k и m, выполним преобразования:
Запишем полученное выражение в стандартном виде:
Отсюда очевидно, что 
, а 
Пример 4 – найти k и m:
Преобразуем правую часть:
Запишем полученное выражение в стандартном виде:
Отсюда очевидно, что 
, а
Итак, одна из стандартных задач – это нахождение по заданному линейному уравнению параметров линейной функции k и m.
Еще две стандартные задачи – по заданному значению х найти у и наоборот, по заданному значению у найти х. Рассмотрим пример.
Пример 5 – найти значение у при 
:
Такую задачу иногда называют прямой задачей.
Пример 6 – найти значение аргумента, если :
Эта задача называется обратной.
5. Выводы по уроку
Вывод: в данном уроке мы рассмотрели линейную функцию как в частных случаях, так и в общем виде, определили параметры линейной функции и их значение, ввели некоторые новые термины, научились решать элементарные типовые задачи.
Тема: Линейная функция
Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций
1. Напоминание теоретических положений
Напомним, что линейной называется функция вида:
x - независимая переменная, аргумент;
у - зависимая переменная, функция;
k и m – некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.
2. Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых
Рассмотрим пример:
Пример 1:
, 
, 
Построим графики данных функций. У каждой из них 
. У первой 
, у второй 
, у третьей 
. Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр 
– это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент 
отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.
Составим таблицы для построения графиков:
|
х |
0 |
-0,5 |
|
у |
1 |
0 |
Таблица для первой функции;
|
х |
0 |
1 |
|
у |
0 |
2 |
Таблица для второй функции;
|
х |
0 |
0,5 |
|
у |
-1 |
0 |
Таблица для третьей функции;
Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.
Рис. 1.
Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:
и 
Если 
но 
то заданные прямые параллельны.
Если и 
то заданные прямые совпадают.
Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают – то система будет иметь бесчисленное множество решений.
3. Рассмотрение примера на свойства параметров функции
Рассмотрим задачи.
Пример 2 – определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.
Рис. 2.
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.
Рис. 3.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.
Рис. 4.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.
Рис. 5.
4. Рассмотрение случая пересекающихся прямых
Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:
Пример 3 – найти графически точку пересечения прямых:
Обе функции имеют график – прямую линию.
Угловой коэффициент первой функции 
, второй функции 
, 
, значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.
Составим таблицы для построения графиков:
|
х |
0 |
1,5 |
|
у |
-3 |
0 |
Таблица для первой функции;
|
х |
0 |
4 |
|
у |
2 |
0 |
Таблица для второй функции;
Рис. 6.
Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)
Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию:
5. Подведение итогов
Подведем итог. Заданы прямые:
и
Если но то заданные прямые параллельны.
Если и то заданные прямые совпадают.
Если при любых значениях m заданные прямые имеют единственную точку пересечения.
Вывод: в данном уроке мы вспомнили теоретические положения относительно линейных функций и свойства их коэффициентов. Мы рассмотрели различные варианты взаимного расположения графиков линейных функций и решили несколько типовых задач.
Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynaya-funktsiya-i-ee-grafik?konspekt&chapter_id=8
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/vzaimnoe-raspolozhenie-grafikov-lineynyh-funktsiy?konspekt&chapter_id=8
Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=h6Qhwv7v7KY
Источник теста: http://nashol.com/2014071078823/algebra-7-9-klass-testi-mordkovich-a-g-tulchinskaya-e-e-2008.html