10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
Комментарии преподавателя
1. Тема урока, введение
Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность.
2. Числовая прямая
Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).
Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.
Например, берем число 
откладываем на координатной оси, получаем точку 
Возьмем число 
откладываем на оси, получаем точку 
(рис. 2).
И наоборот, если мы взяли любую точку 
на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).
К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.
3. Числовые множества
Сначала ввели множество натуральных чисел 
Затем множество целых чисел 
Множество рациональных чисел 
Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида 
Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна 
(рис. 3).
Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное 
Нет, не найдется. Докажем этот факт.
Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная 
т.е. 
Тогда 
Возведем обе части в квадрат, 
Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, 
. Значит и 
Тогда 
Но тогда и 
А значит, 
Тогда получается, что дробь 
сократимая. Это противоречит условию, значит 
Число 
иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел 
Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.
4. Числовая окружность
Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.
Начало отсчета – точка A. Направление отсчета – против часовой стрелки – положительное, по часовой стрелке – отрицательное. Масштаб – длина окружности 
(рис. 4).
Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность. Укажем, каким образом каждому числу 
поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.
Задав число 
получаем точку на окружности 
(рис. 4).
Каждому действительному числу соответствует точка на окружности. А наоборот?
Точка 
соответствует числу . А если взять числа 
Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку
Например, 
соответствует точке B (рис. 4).
Возьмем все числа 
Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.
Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности
Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел
В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.
5. Основные точки окружности
Рассмотрим основные точки на окружности.
Задано число 
Найти, какой точке на окружности оно соответствует.
Разделив дугу 
пополам, получаем точку 
(рис. 5).
Обратная задача – дана точка 
середина дуги 
Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.
Отметим на числовой окружности все дуги, кратные 
(рис. 6).
Важны также дуги, кратные 
Дано число 
Нужно найти соответствующую точку.
Обратная задача – дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.
(рис. 7).
Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.
6. Задачи
Пример 1.
a) Найти на числовой окружности точку с координатой 
Решение:
Откладываем от точки A
это два целых оборота и еще половина, и 
Получаем точку M – это середина третьей четверти (рис. 8).
Ответ. Точка M – середина третьей четверти.
b) Найти на числовой окружности точку с координатой 
Решение:
Откладываем от точки A полный оборот и еще 
получаем точку N (рис. 9).
Ответ: Точка N находится в первой четверти.
7. Вывод, заключение
Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.
повторение
Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).
Рис. 1
Каждому действительному числу 
соответствует единственная точка 
на окружности.
Каждой точке 
на числовой окружности соответствует не только число 
но и все числа вида 
8.Числовая окружность в координатной плоскости
Поместим окружность в координатную плоскость. По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.
(рис. 2).
Рис. 2
Наша задача – по данному числу найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.
9. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны 
Пример 1.Дана точка 
– середина дуги 
Точке соответствуют числа вида 
Найти координаты точки (рис. 3).
Рис. 3
Решение:
Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.
1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности 
по условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол 
Это значит также, что прямая 
делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая 
Точка лежит на прямой 
поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.
Составим систему из двух уравнений.
Решив систему, получим искомые координаты.
2. Рассмотрим 
прямоугольный (рис. 4).
Рис. 4
Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).
Рис. 5
10. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны 
Следующая задача – таким же образом определить координаты точек, кратных 
Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, 
Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).
Рис. 6
Решение:
Рассмотрим 
– прямоугольный.
т. е. угол 
Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).
Рис. 7
Мы задали число 
нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.
11. Решение задач
Самостоятельно рекомендуется найти координаты точки, соответствующей числу 
Пример 1. Дана точка 
Найти её прямоугольные координаты.
Решение:
Точка 
середина третьей четверти (рис. 8).
Рис. 8
12. Вывод, заключение
Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-2
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti
https://www.youtube.com/watch?v=NTqNXLwAaKo
https://www.youtube.com/watch?v=k6UPDd--yGo
https://www.youtube.com/watch?v=8aUlWR5zNis
http://mathematics-tests.com/10-klass-chislovaya-okruzhnost
http://www.kmrz.ru/catimg/40/400239.jpg
http://shkolnie.ru/pars_docs/refs/18/17881/17881_html_m73662372.jpg