10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
Комментарии преподавателя
Числовая окружность
Мы рассматриваем числовую окружность с центром в начале координат, 
и началом отсчета в точке 
, как показано на рисунке 1.
Рис. 1. Числовая окружность
Каждому действительному числу 
соответствует единственная точка 
на этой окружности ( рис. 1).
Как получается эта точка ?
Откладываем дугу 
, равную по модулю , против часовой стрелки (если 
) и по часовой стрелке (если 
). Итак, точка получена.
Каждая точка имеет единственную пару декартовых координат: абсциссу 
и ординату 
(рис. 1). Имеем действительное число , по нему находим единственную точку на окружности , а эта единственная точка на окружности имеет единственную пару декартовых координат 
.
Таким образом, каждому действительному числу сопоставляется два числа и 
. Имеем функции 
и 
.
Далее этим функциям будут даны специальные названия 
и 
. Закон, по которому каждому сопоставляется пара чисел и 
предъявлен. Он удовлетворяет единственности, а значит, введение двух функций обоснованно. С каждой функцией связано две основные задачи.
Прямая задача
По заданному найти значение функции 
и 
.
Обратная задача
По заданному значению зависимой переменной или найти все соответствующие значения аргумента . То есть найти множество всех значений аргумента, при которых зависимая переменная достигает заданного значения. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений.
Решение вида t+2πn;
Числам 
соответствует одна и та же единственная точка на окружности, то есть 
.
Почему же точкам и 
соответствует одна и та же точка на окружности?
Потому, что 
– длина единичной окружности. Ведь длина окружности 
, так как . Сделав полный оборот, из точки мы снова попадаем в точку . Число 
далее будет называться наименьшим положительным периодом функции и .
Рассмотрим еще один пример. Пусть точка соответствует на циферблате числу 1 и часовая стрелка указала на эту точку числа , то есть на 1, один час. Но если мы находимся в комнате без окон, то мы не сможем определить, что это, час дня или час ночи. Этот пример иллюстрирует неоднозначность решения обратной задачи.
Задача 1.
Дано действительное 
.
Найти: место расположения точки 
и ее декартовы координаты и 
.
Рис. 2. Первый способ нахождения точки
Решение
Точку можно найти несколькими способами.
Первый способ нахождения точки M
Дугу 
равную 
разделим на 3 равные части (рис. 2). Каждая часть – это 
. Значит, точка имеет координату 
, так как 
.
Второй способ нахождения точки M
Можно использовать формулу длины окружности: 
. Стало быть, отложим угол 
и получим точку .
Итак, расположение точки найдено двумя способами.
Рис. 3.Нахождение декартовых координат точки
Найдем декартовы координаты и . Эти координаты можно найти из прямоугольного треугольника 
. В нем известна гипотенуза 
, известен острый угол (рис. 3). Значит, 
; 
.
Ответ:
;
.
Замечание: точка находится в первой четверти, ее декартовы координаты положительны и совпадают с длинами катетов. Зная координаты точки , несложно найти координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра.
Задача-следствие
Задача 2.
Дана точка 
;.
Найти: координаты точек 
, симметричных относительно осей координат и точке 
.
Решение:
Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину , учтем симметрию и в результате получим ответ.
Для точки 
(рис. 4): 
; ;
.
Для точки 
(рис. 4): 
; 
; 
.
Для точки 
(рис. 4): 
;
; 
.
Рис. 4.Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра
Замечание
Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точка 
. Координата точки 
;
;
;
Обратная задача
Дано значение абсциссы 
.
Найти множество значений аргумента.
Множество значений всех . А именно, решить уравнение 
. Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числу мы получали точку и ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.
Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки 
(рис. 5) в координаты 
восстанавливаем перпендикуляр к оси 
и получим две точки 
и 
на единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссой 
. Теперь нужно определить длину дуги 
(рис. 5). Рассмотрим треугольник 
. Гипотенуза – 1, катет – 
.
Рис. 5. Построение точки и определение ее декартовых координат
Значит, 
. Отсюда 
. И соответствующая дуга 
. 
, значит, первая криволинейная координата точки 
: 
, а точки : 
.Все координаты точки 
, а все координаты точки 
(рис. 5).
Ответ:
Задача на нахождение декартовых координат
Дано: 
Найти: декартовы координаты точки 
Решение:
Рис. 6.Точка на окружности
Числам и 
соответствует одна и та же точка на окружности. Точка – середина дуги 
(рис. 6). Декартовы координаты ее найдем из 
, в нем гипотенуза – 1. Известно, что 
.
Ответ: 
Вывод
Мы сформулировали и рассмотрели основные задачи на числовую окружность в координатной плоскости.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/reshenie-zadach-po-teme-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti
http://www.youtube.com/watch?v=f0qCF5R_KWw
http://www.youtube.com/watch?v=MfEO130lL7o
http://www.youtube.com/watch?v=k6UPDd--yGo
http://school.xvatit.com/index.php?title=3._Числовая_окружность_на_координатной_плоскости
http://raal100.narod.ru/index/0-287
http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/95241/73920e3bcd39f610332de73e0dd43594.pptx
http://chaulitasjo.science/pic-zadacha.uanet.biz/uploads/61/76/6176c60983745d17f71a3337ee5c8100/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B7%D0%BB%D1%8F%D0%BA-%D0%90.%D0%93.-%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%92.%D0%91.-%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%95.%D0%9C.-%D0%AF%D0%BA%D0%B8%D1%80-%D0%9C.%D0%A1.-%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.-%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BA-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%83.-8-11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1998.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3