10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Формулы приведения.

Комментарии преподавателя

Три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции уг­ло­во­го ар­гу­мен­та

 1. Тема урока, введение

Мы изу­ча­ли три­го­но­мет­ри­че­ские  функ­ции чис­ло­во­го ар­гу­мен­та  Но ар­гу­мен­том  может быть и угол.

 2. Возникновение тригонометрических функций: задача о дереве

По­лез­но вспом­нить, от­ку­да взя­лась необ­хо­ди­мость вве­де­ния новых тер­ми­нов – си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са и ко­тан­ген­са.

За­да­ча.

a) Необ­хо­ди­мо вы­чис­лить вы­со­ту де­ре­ва, не за­ле­зая на него.

Ре­ше­ние:

Рас­смот­рим  На­блю­да­тель из точки может из­ме­рить длину ка­те­та может из­ме­рить угол  может вы­ста­вить умень­шен­ное де­ре­во  из­вест­ной вы­со­ты  (рис. 1).

Обо­зна­чим ис­ко­мую вы­со­ту де­ре­ва  

Рас­смот­рим  

От­но­ше­ние  за­ви­сит толь­ко от ве­ли­чи­ны угла, и это от­но­ше­ние на­зва­ли тан­ген­сом угла 

Ответ: 

b) Найти рас­сто­я­ние до недо­ступ­ной вер­ши­ны B.

Ре­ше­ние:

Обо­зна­чим ис­ко­мое рас­сто­я­ние за  Это ги­по­те­ну­за  В  обо­зна­чим ги­по­те­ну­зу  (рис. 1).

Из по­до­бия  сле­ду­ет, что

От­но­ше­ние  за­ви­сит толь­ко от ве­ли­чи­ны угла  это от­но­ше­ние на­зва­ли ко­си­ну­сом угла 

Ответ:

Мы нашли вы­со­ту де­ре­ва и рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля до вер­ши­ны де­ре­ва, не за­ле­зая на него. Но для этого по­тре­бо­ва­лось вве­сти неко­то­рые ве­ли­чи­ны, ко­то­рые за­ви­сят толь­ко от ве­ли­чи­ны угла и опре­де­ля­ют его. Это тан­генс и ко­си­нус этого угла.

 3. Введение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Вспом­ним, как вво­дят­ся все три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке (рис. 2).

Из опре­де­ле­ния сле­ду­ет важ­ное пра­ви­ло для на­хож­де­ния неиз­вест­ных эле­мен­тов 

 4. Связь между числовым и угловым аргументом

Ранее мы изу­ча­ли три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции чис­ло­во­го ар­гу­мен­та. По­ка­жем, что между чис­ло­вым и уг­ло­вым ар­гу­мен­том нет ни­ка­ко­го про­ти­во­ре­чия.

Рас­смот­рим еди­нич­ную окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

За­да­дим про­из­воль­ное число  и по­лу­чим един­ствен­ную точку 

Точка  имеет две ко­ор­ди­на­ты: 

Ко­ор­ди­на­ту  на­зва­ли ко­си­ну­сом числа  ко­ор­ди­на­ту  си­ну­сом числа 

(рис. 3).

По­ка­жем связь между углом  и чис­ло­вым ар­гу­мен­том  Угол  можно из­ме­рять в гра­ду­сах и ра­ди­а­нах. Мы будем из­ме­рять в ра­ди­а­нах. Тогда дей­ству­ет фор­му­ла:

Угол вы­ра­жен­ный в ра­ди­а­нах, можно рас­смат­ри­вать как гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию чис­ло­во­го ар­гу­мен­та 

Рас­смот­рим  

Они по­доб­ны как пря­мо­уголь­ные с оди­на­ко­вым углом  (рис. 3).

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков также сле­ду­ет, что

Рас­смот­рим еще одно по­до­бие, из ко­то­ро­го най­дем, что ка­са­тель­ная, про­хо­дя­щая через точку P, может на­зы­вать­ся ли­ни­ей тан­ген­сов (рис. 4).

Из 

Рас­смот­рим по­до­бие  (рис. 5).

 ка­са­тель­ная к окруж­но­сти в т.

 как пря­мо­уголь­ные, име­ю­щие оди­на­ко­вый угол  (ÐРравны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых).

Из 

 линия ко­тан­ген­сов.

 5. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции уг­ло­во­го ар­гу­мен­та. Вспом­ни­ли ис­то­ки по­яв­ле­ния новых тер­ми­нов – си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са, ко­тан­ген­са, и рас­смот­ре­ли связь между чис­ло­вым и уг­ло­вым ар­гу­мен­том.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/trigonometricheskie-funktsii-uglovogo-argumenta-2

http://www.youtube.com/watch?v=wrMN-9cea4w

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-trigonometrichaeskaya-funktiya-uglovogo-argumenta.pptx

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-2-trigonometricheskie-funktsii/8-trigonometricheskie-funktsii-uglovogo-argumenta

Файлы