10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Формулы приведения.

Комментарии преподавателя

Три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции уг­ло­во­го ар­гу­мен­та и ти­по­вые за­да­чи

 1. Тема урока, введение

Ранее мы рас­смат­ри­ва­ли опре­де­ле­ние три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций на чис­ло­вой окруж­но­сти.

На про­шлом уроке мы рас­смот­ре­ли одну из си­ту­а­ций, когда при­ш­лось вве­сти три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции уг­ло­во­го ар­гу­мен­та. Вспом­ним эту за­да­чу:

[00:00:492. На­по­ми­на­ние: воз­ник­но­ве­ние три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций]

На­блю­да­те­лю нужно из­ме­рить вы­со­ту де­ре­ва, не за­ле­зая на него (рис. 1).

На­блю­да­тель может из­ме­рить угол  и рас­сто­я­ние до под­но­жия де­ре­ва 

Этих дан­ных до­ста­точ­но, чтобы опре­де­лить все неиз­вест­ные ве­ли­чи­ны.

Вспом­ним, что три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке – это от­но­ше­ния сто­рон тре­уголь­ни­ка:

Мы вспом­ни­ли, как опре­де­ля­ют­ся три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции, при­сту­пим к ре­ше­нию задач.

 3. Решение задач

За­да­ча 1. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке из­вест­на ги­по­те­ну­за  и ост­рый угол  Найти ка­те­ты, пло­щадь тре­уголь­ни­ка и ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, если 

Ре­ше­ние:

За­ме­тим, что  пол­но­стью задан – из­вест­на ги­по­те­ну­за и ост­рый угол  (рис. 2).

Мы можем вы­чис­лить любой эле­мент тре­уголь­ни­ка:

Если мы за­бы­ли фор­му­лу ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти, можно до­стро­ить тре­уголь­ник до пря­мо­уголь­ни­ка, опи­сать окруж­ность и сразу ста­нет ясно, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти на­хо­дит­ся в се­ре­дине ги­по­те­ну­зы и ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен по­ло­вине ги­по­те­ну­зы (рис. 3).

Ответ: 

За­да­ча 2. Хорда  окруж­но­сти об­ра­зу­ет с диа­мет­ром  угол  Най­ди­те длину хорды  если ра­ди­ус окруж­но­сти равен  

Дано: 

Ð

Найти: 

Ре­ше­ние:

Рас­смот­рим   Ð опи­ра­ет­ся на диа­метр, зна­чит он пря­мой (по тео­ре­ме о впи­сан­ном угле).  Ð (рис. 4).

Имеем пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с из­вест­ным углом  и из­вест­ной ги­по­те­ну­зой.

Ответ: 

За­да­ча 3. До­ка­жи­те, что пло­щадь вы­пук­ло­го че­ты­рёх­уголь­ни­ка равна по­ло­вине про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей на синус угла между ними.

Дано:  вы­пук­лый че­ты­рёх­уголь­ник.

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Вспом­ним, что такое вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник. Это че­ты­рёх­уголь­ник, ко­то­рый  лежит в одной по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но каж­дой пря­мой, со­дер­жа­щей его сто­ро­ну (рис. 5).

 вы­пук­лый че­ты­рёх­уголь­ник; его диа­го­на­ли;  вы­со­та в  вы­со­та в 

Вы­чис­лим  через  

Тож­де­ство до­ка­за­но.

Рас­смот­рим част­ный слу­чай, когда диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­ны  и  (рис. 6).

Если  то  вы­со­та в  вы­со­та в 

Угол между диа­го­на­ля­ми равен   тож­де­ство до­ка­за­но.

За­да­ча 4. Для угла  вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

 не су­ще­ству­ет;

За­да­ча 5. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа 

Ре­ше­ние:

Решим дан­ную за­да­чу с по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти путем срав­не­ния с эта­лон­ны­ми уг­ла­ми (рис. 8).

Ответ: 

 4. Вывод, заключение

Мы еще раз вспом­ни­ли опре­де­ле­ния три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций уг­ло­во­го ар­гу­мен­та, ос­нов­ные пра­ви­ла на­хож­де­ния неиз­вест­ных эле­мен­тов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ис­поль­зо­ва­ни­ем три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, ис­поль­зо­ва­ли их при ре­ше­нии кон­крет­ных гео­мет­ри­че­ских задач. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/trigonometricheskie-funktsii-uglovogo-argumenta-i-tipovye-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=wrMN-9cea4w

http://www.youtube.com/watch?v=3qQbo04bv_g

http://www.youtube.com/watch?v=BlhZpR1Y-Qk

http://www.youtube.com/watch?v=JYja3YLOrVg

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik

Файлы