6 класс. Математика. Свойства действий с рациональными числами
6 класс. Математика. Свойства действий с рациональными числами
Комментарии преподавателя
1. Вступление. Тема урока
Мы помним, что все известные нам числа являются рациональными числами. Их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, а деление – умножением. Таким образом, остаются два действия: сложение и умножение. На уроке мы вспомним, какими свойствами они обладают. Наш урок – это урок повторения и систематизации знаний.
2. Свойства сложения
Сложение рациональных чисел обладает четырьмя свойствами. Если – любые рациональные числа, то эти свойства можно записать в виде равенств.
От перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Это свойство называется переместительным.
Сочетательное свойство. Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.
Прибавление нуля не изменяет числа.
Сумма противоположных чисел равна нулю.
Можно объединить переместительное и сочетательное свойство сложения в одно утверждение, удобное для применения на практике.
Складывать можно в любом порядке.
3. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения
Упражнения на применение переместительного и сочетательного свойств сложения.
Пример 1.
Заменим вычитание сложением:
Удобно сложить сначала положительные, а затем отрицательные числа.
Сложим полученные два числа:
Пример 2.
Выполним аналогичные рассуждения при вычислении значения выражения во втором примере. Заменим вычитание сложением. Сначала сложим положительные, а затем отрицательные числа.
Заметим, что заменить вычитание сложением можно в уме. Складывая отрицательные числа, можно изменить порядок: сложить первое и третье слагаемое, а к результату прибавить второе слагаемое.
Сложим полученные два числа:
Пример 3
Заменив вычитание сложением, увидим, что в данном случае неудобно складывать отдельно положительные и отдельно отрицательные число. Удобно выбрать иной порядок:
.
Первая сумма – это число 5, а вторая – или .
В рассмотренных примерах мы использовали переместительное и сочетательное свойство сложения. Мы выполняли сложение в удобном для нас порядке.
4. Применение третьего и четвертого свойства сложения
Примеры, иллюстрирующие применение третьего и четвертого свойства сложения
Пример 1.
Заменим вычитание сложением:
Заметим, что 387 и -387 – это противоположные числа. Значит, согласно 4 свойству, в сумме они дают ноль. Рассуждая аналогично, получим, что
Пример 2. Упростить выражение:
Числа – противоположные числа, значит, в сумме они дают ноль. Число 8 и число в сумме дают . От прибавления нуля число не изменяется.
Обычно рассуждают короче. Числа, которые в сумме дают ноль, вычеркивают.
Пример 3. Упростить выражение:
Вычеркнем числа, которые в сумме дают ноль. В итоге, наше выражение равно .
alt=
5. Четыре свойства умножения
Свойства сложения и умножения имеют много общего. Рассмотрим свойства умножения в сравнении со свойствами сложения.
Умножение, как и сложение, обладает переместительным и сочетательным свойством:
От перемены мест множителей произведение не изменяется. Если число нужно умножить на произведение двух чисел, то можно это число умножить сначала на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй множитель.
Объединение этих свойств дает утверждение:
Умножать можно в любом порядке.
Рассмотрим третье свойство. Умножение на единицу не изменяет рациональное число.
Сравним его с третьим свойством сложения. Они аналогичны. Для действия сложения особую роль играет число ноль, а для действия умножения – число один. При сложении с нулем число не меняется, и при умножении на один число тоже не меняется.
Четвертое свойство. Единицу, то есть число, особое для умножения, можно получить, умножив число на обратное ему число. Четвертое свойство сложения аналогично. Ноль – число особое для сложения – можно получить, сложив противоположные числа.
Умножение обладает еще одним свойством. Это свойство присуще только умножению. Аналогичного свойства для сложения нет. Мы рассмотрим это свойство отдельно.
6. Применение рассмотренных свойств умножения
Найдем значение числовых выражений, выбирая удобный порядок вычислений.
Рассмотрим первый пример.
Удобно сначала умножить число на число 25, а потом число 11 на число . Затем перемножить полученные произведения и .
Второй пример.
Значение этого числового выражения легко найти, умножив на и 0,8 на .
В первом случае получим 1, а во втором – . При умножении числа на единицу получается то же самое число. Итак, ответ – число .
Рассмотрим третий пример.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
– это взаимно обратные числа. Их произведение равно единице. Перемножив третий и первый множитель, получим 10. Умножение на единицу не изменяет числа.
7. Пятое свойство умножения
Рассмотрим пятое свойство умножения.
Умножение на ноль дает в произведении ноль. Это хорошо известное нам свойство. Посмотрим на него с другой стороны. Сформулируем его так. Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Используя буквы, это можно записать так:
Заметим, что такая формулировка предполагает, что могут одновременно быть равны нулю.
Рассмотрим примеры.
1. Решить уравнение.
2. Решить уравнение.
8. Распределительный закон умножения
Рассмотрим свойство, объединяющее сложение и умножение.
Для того чтобы умножить сумму на число, можно сначала умножить первое слагаемое на это число, потом второе слагаемое на это число, а полученные результаты сложить.
С этим свойством подробнее вы познакомитесь на следующих уроках. Мы рассмотрим только два примера его применения.
Пример 1.
Перед нами произведение суммы на число 20. Умножим первое слагаемое на 20 и второе слагаемое на 20. Первое произведение равно 8, второе – . Сложив полученные числа, найдем значение этого выражения.
Пример 2.
Выполним обратное преобразование. Заметим, что 0,3 и 0,7 умножают на одно и то же число .
Можно сначала сложить 0,3 и 0,7; затем умножить полученное число один на .
источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/umnozhenie-i-delenie-polozhitelnyh-i-otricatelnyh-chisel/svoystva-deystviy-s-ratsionalnymi-chislami
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=0XfF9T6EJdk
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=dOvhnwOq8WQ
источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/svojjstva-dejjstvijj-s-racionalnymi-chislami.html