6 класс. Математика. Свойства действий с рациональными числами

Комментарии преподавателя

 1. Вступление. Тема урока

Мы пом­ним, что все из­вест­ные нам числа яв­ля­ют­ся ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми. Их можно скла­ды­вать, вы­чи­тать, умно­жать и де­лить. Мы знаем, что вы­чи­та­ние можно за­ме­нить сло­же­ни­ем, а де­ле­ние – умно­же­ни­ем. Таким об­ра­зом, оста­ют­ся два дей­ствия: сло­же­ние и умно­же­ние. На уроке мы вспом­ним, ка­ки­ми свой­ства­ми они об­ла­да­ют. Наш урок – это урок по­вто­ре­ния и си­сте­ма­ти­за­ции зна­ний.

 2. Свойства сложения

Сло­же­ние ра­ци­о­наль­ных чисел об­ла­да­ет че­тырь­мя свой­ства­ми. Если   – любые ра­ци­о­наль­ные числа, то эти свой­ства можно за­пи­сать в виде ра­венств.

От пе­ре­ме­ны мест сла­га­е­мых сумма не из­ме­ня­ет­ся. Это свой­ство на­зы­ва­ет­ся пе­ре­ме­сти­тель­ным.

Со­че­та­тель­ное свой­ство. Если к числу нужно при­ба­вить сумму двух чисел, то можно к этому числу при­ба­вить сна­ча­ла пер­вое сла­га­е­мое, а затем вто­рое.

При­бав­ле­ние нуля не из­ме­ня­ет числа.

Сумма про­ти­во­по­лож­ных чисел равна нулю.

Можно объ­еди­нить пе­ре­ме­сти­тель­ное и со­че­та­тель­ное свой­ство сло­же­ния в одно утвер­жде­ние, удоб­ное для при­ме­не­ния на прак­ти­ке.

Скла­ды­вать можно в любом по­ряд­ке.

 3. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения

Упраж­не­ния на при­ме­не­ние пе­ре­ме­сти­тель­но­го и со­че­та­тель­но­го свойств сло­же­ния.

При­мер 1.

За­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем:

Удоб­но сло­жить сна­ча­ла по­ло­жи­тель­ные, а  затем от­ри­ца­тель­ные числа.

Сло­жим по­лу­чен­ные два числа:

При­мер 2.

Вы­пол­ним ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния при вы­чис­ле­нии зна­че­ния вы­ра­же­ния во вто­ром при­ме­ре. За­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем.  Сна­ча­ла сло­жим по­ло­жи­тель­ные, а затем от­ри­ца­тель­ные числа.

За­ме­тим, что за­ме­нить вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем можно в уме. Скла­ды­вая от­ри­ца­тель­ные числа, можно из­ме­нить по­ря­док: сло­жить пер­вое и тре­тье сла­га­е­мое, а к ре­зуль­та­ту при­ба­вить вто­рое сла­га­е­мое.

Сло­жим по­лу­чен­ные два числа:

При­мер 3

За­ме­нив вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем, уви­дим, что в дан­ном слу­чае неудоб­но скла­ды­вать от­дель­но по­ло­жи­тель­ные и от­дель­но от­ри­ца­тель­ные число. Удоб­но вы­брать иной по­ря­док:

.

Пер­вая сумма – это число 5, а вто­рая –   или  .

В рас­смот­рен­ных при­ме­рах мы ис­поль­зо­ва­ли пе­ре­ме­сти­тель­ное и со­че­та­тель­ное свой­ство сло­же­ния. Мы вы­пол­ня­ли сло­же­ние в удоб­ном для нас по­ряд­ке.

 4. Применение третьего и четвертого свойства сложения

При­ме­ры, ил­лю­стри­ру­ю­щие при­ме­не­ние тре­тье­го и чет­вер­то­го свой­ства сло­же­ния

При­мер 1.

За­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем:

За­ме­тим, что  387 и -387 – это про­ти­во­по­лож­ные числа. Зна­чит, со­глас­но 4 свой­ству, в сумме они дают ноль. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­чим, что 

При­мер 2. Упро­стить вы­ра­же­ние: 

Числа     – про­ти­во­по­лож­ные числа, зна­чит, в сумме они дают ноль.  Число 8 и число  в сумме дают  . От при­бав­ле­ния нуля число не из­ме­ня­ет­ся.

Обыч­но рас­суж­да­ют ко­ро­че. Числа, ко­то­рые в сумме дают ноль, вы­чер­ки­ва­ют.

При­мер 3. Упро­стить вы­ра­же­ние: 

Вы­черк­нем числа, ко­то­рые в сумме дают ноль. В итоге, наше вы­ра­же­ние равно .

alt=

 5. Четыре свойства умножения

Свой­ства сло­же­ния и умно­же­ния имеют много об­ще­го. Рас­смот­рим свой­ства умно­же­ния в срав­не­нии со свой­ства­ми сло­же­ния.

Умно­же­ние, как и сло­же­ние, об­ла­да­ет пе­ре­ме­сти­тель­ным и со­че­та­тель­ным свой­ством:

От пе­ре­ме­ны мест мно­жи­те­лей про­из­ве­де­ние не из­ме­ня­ет­ся. Если число нужно умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, то можно это число умно­жить сна­ча­ла на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой мно­жи­тель.

Объ­еди­не­ние этих свойств дает утвер­жде­ние:

Умно­жать можно в любом по­ряд­ке.

Рас­смот­рим тре­тье свой­ство. Умно­же­ние на еди­ни­цу не из­ме­ня­ет ра­ци­о­наль­ное число.

Срав­ним его с тре­тьим свой­ством сло­же­ния. Они ана­ло­гич­ны. Для дей­ствия сло­же­ния осо­бую роль иг­ра­ет число ноль, а для дей­ствия умно­же­ния – число один. При сло­же­нии с нулем число не ме­ня­ет­ся, и при умно­же­нии на один число тоже не ме­ня­ет­ся.

 

Чет­вер­тое свой­ство. Еди­ни­цу, то есть число, осо­бое для умно­же­ния, можно по­лу­чить, умно­жив число на об­рат­ное ему число. Чет­вер­тое свой­ство сло­же­ния ана­ло­гич­но.  Ноль – число осо­бое для сло­же­ния – можно по­лу­чить, сло­жив про­ти­во­по­лож­ные числа.

 

Умно­же­ние об­ла­да­ет еще одним свой­ством. Это свой­ство при­су­ще толь­ко умно­же­нию. Ана­ло­гич­но­го свой­ства для сло­же­ния нет. Мы рас­смот­рим это свой­ство от­дель­но.

 6. Применение  рассмотренных свойств умножения

Най­дем зна­че­ние чис­ло­вых вы­ра­же­ний, вы­би­рая удоб­ный по­ря­док вы­чис­ле­ний.

Рас­смот­рим пер­вый при­мер.

Удоб­но  сна­ча­ла умно­жить число  на  число 25, а потом число 11 на число . Затем пе­ре­мно­жить по­лу­чен­ные про­из­ве­де­ния  и .

Вто­рой при­мер.

Зна­че­ние этого чис­ло­во­го вы­ра­же­ния легко найти, умно­жив  на   и  0,8 на .

В пер­вом слу­чае по­лу­чим 1, а во вто­ром – . При умно­же­нии числа на еди­ни­цу по­лу­ча­ет­ся то же самое число. Итак, ответ – число .

Рас­смот­рим тре­тий при­мер.

Пе­ре­ве­дем сме­шан­ные числа в непра­виль­ные дроби.

 – это вза­им­но об­рат­ные числа. Их про­из­ве­де­ние равно еди­ни­це. Пе­ре­мно­жив тре­тий и пер­вый мно­жи­тель, по­лу­чим 10. Умно­же­ние на еди­ни­цу не из­ме­ня­ет числа.

 7. Пятое свойство умножения

Рас­смот­рим пятое свой­ство умно­же­ния.

Умно­же­ние на ноль дает в про­из­ве­де­нии ноль. Это хо­ро­шо из­вест­ное нам свой­ство. По­смот­рим на него с дру­гой сто­ро­ны. Сфор­му­ли­ру­ем его так. Про­из­ве­де­ние равно нулю толь­ко в том слу­чае, когда хотя бы один из мно­жи­те­лей равен нулю. Ис­поль­зуя буквы, это можно за­пи­сать так:

За­ме­тим, что такая фор­му­ли­ров­ка пред­по­ла­га­ет, что  могут од­но­вре­мен­но быть равны нулю.

Рас­смот­рим при­ме­ры.

1. Ре­шить урав­не­ние. 

2. Ре­шить урав­не­ние. 

 8. Распределительный закон умножения

Рас­смот­рим свой­ство, объ­еди­ня­ю­щее сло­же­ние и умно­же­ние.

Для того чтобы умно­жить сумму на число, можно сна­ча­ла умно­жить пер­вое сла­га­е­мое на это число, потом вто­рое сла­га­е­мое на это число, а по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты сло­жить.

С этим свой­ством по­дроб­нее вы по­зна­ко­ми­тесь на сле­ду­ю­щих уро­ках. Мы рас­смот­рим толь­ко два при­ме­ра его при­ме­не­ния.

При­мер 1.

Перед нами про­из­ве­де­ние суммы на число 20. Умно­жим пер­вое сла­га­е­мое на 20 и вто­рое сла­га­е­мое на 20. Пер­вое про­из­ве­де­ние равно 8, вто­рое – . Сло­жив по­лу­чен­ные числа, най­дем зна­че­ние этого вы­ра­же­ния.

При­мер 2.

Вы­пол­ним об­рат­ное пре­об­ра­зо­ва­ние. За­ме­тим, что 0,3 и 0,7 умно­жа­ют на одно и то же число .

Можно сна­ча­ла сло­жить 0,3 и 0,7; затем умно­жить по­лу­чен­ное число один на .

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/umnozhenie-i-delenie-polozhitelnyh-i-otricatelnyh-chisel/svoystva-deystviy-s-ratsionalnymi-chislami

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=0XfF9T6EJdk

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=dOvhnwOq8WQ

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/svojjstva-dejjstvijj-s-racionalnymi-chislami.html

Файлы