10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Модификация графиков. Функции y=tg x, y=ctg x.

Комментарии преподавателя

Как по­стро­ить гра­фик функ­ции y=f(kx), если из­ве­стен гра­фик функ­ции y=f(x)

 1. Тема урока, введение

Ранее мы рас­смат­ри­ва­ли, как по­стро­ить гра­фик функ­ции  когда на число m умно­жа­лась вся функ­ция, при этом необ­хо­ди­мо было сжать или рас­тя­нуть ис­ход­ную кри­вую в m раз вдоль оси y.

Те­перь вме­сто ар­гу­мен­та x в функ­цию под­ста­вим ар­гу­мент  и ис­ход­ную кри­вую необ­хо­ди­мо будет в  раз сжать или рас­тя­нуть вдоль оси x.

 2. Построение графика функции y=m∙f(x) по графику y=f(x)

Вспом­ним пра­ви­ло по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции  

Дан гра­фик  необ­хо­ди­мо по­лу­чить гра­фик функ­ции 

 3. Построение графика функции y=f(kx), k>1

Рас­смот­рим функ­цию 

Дан гра­фик функ­ции  необ­хо­ди­мо по­стро­ить гра­фик функ­ции 

На ри­сун­ке видно, что кри­вая сжи­ма­ет­ся к оси y  в 2 раза. Если ис­ход­ная функ­ция имела пе­ри­од  то пе­ри­од функ­ции равен 

Чтобы со­хра­нить фик­си­ро­ван­ное зна­че­ние функ­ции, ар­гу­мент сле­ду­ет умень­шить в два раза. Про­ис­хо­дит сжа­тие в 2 раза вдоль оси x (или к оси y).

 4. Построение графика функции y=f(kx), 0

Рас­смот­рим функ­цию 

Кри­вая  по­лу­че­на рас­тя­же­ни­ем кри­вой  в 2 раза вдоль оси x (или от оси y).

Мы рас­смот­ре­ли по­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции  по из­вест­но­му гра­фи­ку  при  (рис. 4).

 5. Правило получения кривой y=f(kx), k>0

Сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло для 

Чтобы по­лу­чить кри­вую  необ­хо­ди­мо:

1. Оста­вить на месте точку  пе­ре­се­че­ния с осью y, если такая точка су­ще­ству­ет.

2. Осталь­ные точки ис­ход­ной кри­вой сжать или рас­тя­нуть в  раз вдоль оси x (или к оси y) .

 6. Вывод, заключение

Мы по­вто­ри­ли пра­ви­ло пре­об­ра­зо­ва­ния гра­фи­ка функ­ции, когда число m  умно­жа­ет­ся на саму функ­цию и вы­ве­ли пра­ви­ло по­лу­че­ния гра­фи­ка функ­ции  для 

 7. Продолжение

На преды­ду­щем уроке мы вы­ве­ли пра­ви­ло по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции  по из­вест­но­му гра­фи­ку для  Точку пе­ре­се­че­ния с осью y мы остав­ля­ли без из­ме­не­ния, осталь­ные точки кри­вой сжи­ма­ли или рас­тя­ги­ва­ли вk раз вдоль оси x. При­ве­дем при­мер и рас­про­стра­ним пра­ви­ло на слу­чай 

 8. Построение графика функции y=f(kx), k>0

За­да­ча 1. По­стро­ить гра­фик функ­ции  если из­ве­стен гра­фик функ­ции 

Ре­ше­ние:

Рис. 1.

Про­ис­хо­дит сжа­тие кри­вой  к оси y в 2 раза. Если на участ­ке  ис­ход­ная функ­ция укла­ды­ва­ет­ся ровно в одну пол­ную волну, то новая функ­ция, име­ю­щая пе­ри­од , уло­жит­ся 2 раза.

Гра­фик функ­ции  можно по­стро­ить и дру­гим спо­со­бом. Возь­мем уча­сток гра­фи­ка на про­ме­жут­ке  и про­из­ве­дем сжа­тие к оси y в 2 раза. По­лу­чим точки  ко­то­рые огра­ни­чи­ва­ют по­лу­вол­ну новой кри­вой (рис. 2).

С по­мо­щью по­лу­чен­ной по­лу­вол­ны неслож­но по­стро­ить гра­фик функ­ции  на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

 9. Построение графика функции y=f(-x)

Мы при­ве­ли при­мер по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции  при  

По­лу­чим кри­вую  из кри­вой 

Возь­мем точку  на гра­фи­ке, и про­ти­во­по­лож­ную ей точку   В точке   зна­че­ние функ­ции равно 

Таким об­ра­зом, точка A пе­ре­хо­дит в точку B:

(рис. 3).

Гра­фи­ки функ­ций  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но оси y.

 10. Построение графика функции y=f(kx), k<0

Пе­рей­дем к по­стро­е­нию гра­фи­ка функ­ции 

Если  то 

Необ­хо­ди­мо сде­лать сле­ду­ю­щее:

1. Сжать ис­ход­ную кри­вую  к оси y с ко­эф­фи­ци­ен­том  По­лу­чим кри­вую 

2. Отоб­ра­зить сим­мет­рич­но кри­вую  от­но­си­тель­но оси y. По­лу­ча­ем ис­ко­мую кри­вую 

При­мер: По­стро­ить гра­фик функ­ции 

Ре­ше­ние.

Функ­ция ко­си­нус – чет­ная, зна­чит, вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

Нам необ­хо­ди­мо по­стро­ить гра­фик функ­ции 

По­стро­им одну по­лу­вол­ну гра­фи­ка (рис. 4):

a) 

b)  рас­тя­же­ние в 3 раза вдоль оси y.

c)  сим­мет­рич­ное отоб­ра­же­ние от­но­си­тель­но оси x.

d)  сжа­тие к оси y в 2 раза.

Мы по­лу­чи­ли одну по­лу­вол­ну гра­фи­ка, с ее по­мо­щью стро­им гра­фик функ­ции  на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния (рис. 5).

 11. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли пра­ви­ло по­лу­че­ния гра­фи­ка функ­ции  по из­вест­но­му гра­фи­ку Пре­об­ра­зо­ва­ния гра­фи­ков будут ис­поль­зо­ва­ны на сле­ду­ю­щем уроке при изу­че­нии гар­мо­ни­че­ских ко­ле­ба­ний.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/kak-postroit-grafik-funktsii-y-f-kx-esli-izvesten-grafik-funktsii-y-f-x

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/kak-postroit-grafik-funktsii-y-f-kx-esli-izvesten-grafik-funktsii-y-f-x-primery-postroeniya

http://www.youtube.com/watch?v=7BrGvllntbM

http://www.youtube.com/watch?v=FhDdvKRXZgU

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://math4school.ru/postroenie_grafikov.html#spr408

Файлы