10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Модификация графиков. Функции y=tg x, y=ctg x.

Функция y=tgx.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Функция y=tgx.

Комментарии преподавателя

Функция y=tgt, её свойства и график

1. Напоминание: определение функции, графика функции

Напоминание:

Определение: Функцией называется закон, по которому каждому допустимому значению ставится в соответствие единственное значение y.

Множество всех точек координатной плоскости называется графиком функции

2. Определение тангенса

На отрезке задана функция (рис. 1).

По определению, каждому значению ставится в соответствие только одно значение И обратно: значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента:

Дадим определение функции или .

Нам важен закон, по которому каждому значению ставится в соответствие

Зададим произвольное Значение откладывается на числовой окружности по часовой стрелке либо против часовой стрелки, в зависимости от знака Получаем единственную точку M с единственной парой координат (рис. 2).

Координату называют косинусом числа координату синусом числа

Тангенсом числа называется отношение синуса к косинусу

3. Тангенс на числовой окружности

Нам известно, что каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции Покажем это графически.

Проведем касательную к числовой окружности в точке A. Заданному значению соответствует единственная точка M, единственная прямая OM и единственная точка T пересечения прямой OM и касательной (рис. 3).

Наша цель – найти координаты точки T, для этого решим систему уравнений.

Ордината точки равна

Прямую называют линией тангенсов.

4. Исследование четности и периодичности функции y=tgt

Докажем, что область значений тангенса – это все действительные числа,

Доказательство:

Зададим любое действительное значение и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Отложим на линии тангенсов, получим точку (рис. 4).

Соединим её с точкой O, получим прямую которая пересекает числовую окружность хотя бы в одной точке M, а, значит, существует единственная дуга и хотя бы одно значение которое равно длине дуги.

Любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. Но любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Таким образом, мы задали любое значение функции и доказали, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Отметим два важных свойства функции

1. Нечетность функции.

Т.е.

2. Докажем, что период функции равен

Таким образом, для любого значения выполняется

5. График функции y=tgt

Эти свойства функции позволяют нам легко построить её график. Период функции равен значит, мы можем изучить её свойства и построить график на любом участке длиной