10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арккосинус и арксинус.

Комментарии преподавателя

Арк­ко­си­нус

 1. Тема урока, введение

На этом уроке мы по­зна­ко­мим­ся с по­ня­ти­ем арк­ко­си­нус и решим ти­по­вые за­да­чи.

 2. График функции y=cost, введение понятия арккосинуса

Рас­смот­рим гра­фик функ­ции 

По­стро­им гра­фик по точ­кам. От­ме­тим на оси абс­цисс точки крат­ные 

От­ме­тим точки, крат­ные 

Для всех этих ар­гу­мен­тов нам из­вест­ны зна­че­ния функ­ции, от­ме­тим их на оси ор­ди­нат (рис. 1).

По­че­му был вы­бран имен­но про­ме­жу­ток  

1. На этом про­ме­жут­ке функ­ция про­бе­га­ет все свои зна­че­ния от  до .

2. На этом про­ме­жут­ке функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет. Если  то функ­ция убы­ва­ет, 

Мы за­да­ли функ­цию, а зна­чит, есть две за­да­чи – пря­мая и об­рат­ная.

Пря­мая за­да­ча: за­да­ем зна­че­ние  по­лу­ча­ем зна­че­ние .

На­при­мер: Если  если 

Об­рат­ная за­да­ча: какие зна­че­ния ар­гу­мен­та из про­ме­жут­ка со­от­вет­ству­ют за­дан­но­му зна­че­нию функ­ции?

Если  если  если 

Един­ствен­ное ре­ше­ние об­рат­ной за­да­чи обес­пе­чи­ва­ет мо­но­тон­ность функ­ции на про­ме­жут­ке .

При каких зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та до­сти­га­ет­ся зна­че­ние функ­ции  (рис. 2).

А как опре­де­лить, как на­звать это число 

Зна­че­ние ар­гу­мен­та  ко­си­нус ко­то­ро­го равен , на­зы­ва­ет­ся арк­ко­си­ну­сом числа 

Каж­до­му  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное , и на­о­бо­рот, каж­дое зна­че­ние  до­сти­га­ет­ся при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та из про­ме­жут­ка , это зна­че­ние  и на­зы­ва­ет­ся арк­ко­си­ну­сом числа .

При­мер:

По гра­фи­ку функ­ции мы можем счи­ты­вать зна­че­ния арк­ко­си­ну­са.

 3. Определение арккосинуса

Дадим стро­гое опре­де­ле­ние арк­ко­си­ну­са.

Опре­де­ле­ние: Если  это такое число из от­рез­ка  ко­си­нус ко­то­ро­го равен 

При­мер:

 4. Теорема о свойствах арккосинуса

Рас­смот­рим важ­ное свой­ство арк­ко­си­ну­са:

Тео­ре­ма:

Для лю­бо­го  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство: 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим чис­ло­вую окруж­ность (рис. 3).

 мно­же­ство зна­че­ний арк­ко­си­ну­са.

Если  то 

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 5. Решение задач

За­да­ча 1. Срав­нить числа: 

Ре­ше­ние (рис. 4).

Функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, по­это­му боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции.

Ответ: 

За­да­ча 2. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Ответ: 

За­да­ча 3. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

По тео­ре­ме о свой­ствах арк­ко­си­ну­са

Ответ: 

 6. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие арк­ко­си­ну­са, на­учи­лись вы­чис­лять и счи­ты­вать зна­че­ния арк­ко­си­ну­са с по­мо­щью гра­фи­ка и с по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkosinus

http://www.youtube.com/watch?v=54APRjDmgbU

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-3-trigonometricheskie-uravneniya/15-arkkosinus-reshenie-uravneniya-cos-ta/22

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/10-klass-funkziya-arccosinus.pptx

Файлы