10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.
10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.
Комментарии преподавателя
Рассмотрение формул косинуса и синуса разности аргументов
Выпишем 2 формулы:
- косинус разности аргументов:
,
то есть косинус разности аргументов – это сумма произведений косинусов и синусов этих аргументов.
- синус разности аргументов:
,
т. е. синус разности аргументов – это разность произведений синуса α на косинус β и косинуса α на синус β.
В задачах важно понимать, что принимать за α и β.
Задача 1 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов
Задача 1. Упростить
.
Решение:
Принимаем 5x за α, т. е. 5x
α, а 3xβ, и используем формулу синус разности аргументов.
Задача 2 на упрощение выражения с помощью формулы косинуса разности аргументов
Задача 2. Упростить
.
Решение:
Подходит формула косинуса разности аргументов, но у нас разность произведений, поэтому преобразуем данное выражение, воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности функции синус:
=
=
=
Мы не только упростили выражение, но и вычислили его.
Задача 3 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов
Задача 3.Упростить выражение 
.
Решение:
=
Воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности функции синус, получаем:
==
=
Т.к. 
, то
==
==
=
=
Разветвление Вычислительные задачи по теме урока
Вычислительные задачи по теме урока
Вычислить:
Решение:
Воспользуемся формулой косинус разности аргументов.
=
=
=0
Вычислить:
Решение:
Воспользуемся формулой синус разности аргументов.
=
=
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача 4 на нахождение синуса и сравнение чисел с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов
Задача 4.
Дано
Найти: a) 
и 
Решение:
а) Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис.1):
Рис. 1. Тригонометрическая окружность
Числом t является длина выделенной дуги.
а) 
=
Все величины, кроме
нам известны.
=
=
=
=
=
=
Недостающее число найдено.
=
=
,
Т. е. 
б) Сравнить поможет 
, если он отрицательный, число находится во второй четверти, если положительный – в первой (справа от 
(рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Все величины нам известны:
=
=
=
Это величина отрицательная, следовательно, и косинус отрицательный (расположен во второй четверти):
t
.
Иногда приходится применять две формулы сразу в одной задаче.
Задача 5 на решение уравнения с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов
Задача 5.
Решить уравнение:
.
Решение:
Применяем свойство чётности функции косинуса и свойство нечётности функции синуса:
=
=
Получили простейшее тригонометрическое уравнение.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Для угла t =x+45
первое множество решений даёт точка к1 (
), второе множество
решений - к2 (
) (рис. 3).
n
n
Мы решили уравнение и нашли все его решения, их бесчисленное множество.
Подведение итогов
На данном уроке были рассмотрены формулы косинуса и синуса разности аргументов и решены типовые задачи с применением данных формул.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-na-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumenta
http://www.youtube.com/watch?v=EHHHBbj-5K4
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c387dadb-430f-4364-9805-9a214e982216/tgxgrafik.png
http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c7666ec9-17a6-45cf-a1c8-0b88eefab66a/cosx1.png
http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/158e09ee-2a8c-4474-bc65-9faff83108a3/sinx.png
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-4-preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenij/19-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumentov/26