10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.

Комментарии преподавателя

Тангенс суммы и разности аргументов

  В этом параграфе речь пойдет о том, как тангенс суммы или разности аргументов выражается через тангенсы аргументов. Соответствующие формулы выглядят следующим образом:

При этом, разумеется, предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что(для первой формулы),  (для второй формулы). 
Доказательства этих формул достаточно сложны, мы приведем одно из них в конце параграфа. Но сначала рассмотрим ряд примеров, показывающих, как используются эти формулы на практике.
Пример 1. Вычислить:
Решение, а) Воспользуемся тем, что 75° = 45° + 30°. Получим:

Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

в) Заметим, что заданное выражение представляет собой правую часть формулы «тангенс суммы» для аргументов 27° и 18°. Значит,

Пример 2. Доказать тождество:
Решение. Применим к правой части проверяемого тождества формулу «тангенс разности». Имеем:

Замечание. Когда речь идет о доказательстве тригонометрического тождества или о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, что аргументы принимают только допустимые значения. Так, в рассмотренном примере доказанное тождество справедливо при условии, что
Пример 3. Вычислить
Решение. Воспользуемся тождеством, полученным в предыдущем примере:

Если мы вычислим tg х, то вычислим и
Значение соs x; задано, значение tg х найдем с помощью соотношения

По условию аргумент x принадлежит второй четверти, а в ней тангенс отрицателен. Поэтому из равенства
Подставим найденное значение в правую часть формулы (1):

В заключение докажем, как было обещано, формулу тангенса суммы. Кроме того, приведем довольно любопытный пример, показывающий неожиданное применение формулы тангенса суммы.
Имеем:

Разделим в полученной дроби и числитель, и знаменатель почленно на соs х соз у. Получим:

Пример 4. Доказать, что 1° — иррациональное число.
Решение. Предположим противное, что tg 1°— рациональное число :tg 1 °=r, где г — рациональное число. Имеем:

Получилось рациональное число, обозначим его q; итак tg 2°=q.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что:  снова получили рациональное число. Продолжая процесс, получим, что 4°, 5°, 60° — рациональные числа. Ноа это — иррациональное число. Получили противоречие, значит, сделанное предположение неверно, т.е. tg 1° — иррациональное число.   

ИСТОЧНИК

http://school.xvatit.com/index.php?title=Тангенс_суммы_и_разности_аргументов

http://www.youtube.com/watch?v=qSdc5MkOEpk

http://www.youtube.com/watch?v=j195TUfksAY

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://chaulitasjo.science/pic-zadacha.uanet.biz/uploads/61/76/6176c60983745d17f71a3337ee5c8100/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B7%D0%BB%D1%8F%D0%BA-%D0%90.%D0%93.-%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%92.%D0%91.-%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%95.%D0%9C.-%D0%AF%D0%BA%D0%B8%D1%80-%D0%9C.%D0%A1.-%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.-%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BA-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%83.-8-11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1998.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

http://nsportal.ru/sites/default/files/2011/12/28/urok_po_trigonometrii.pptx

http://v.5klass.net/zip/a78a0686cc07a7f0ba76cd8044d235a6.zip

http://internika.org/sites/default/files/imagecache/work_n/users/user16424/prezentaciya1.jpg

http://prilogenie-blank-0155487.ru/wp-content/uploads/2015/09/16-09-2015-10-32-54-c5636218772c57bc34c5ed8cca852b57.jpg

Файлы