7 класс. Алгебра. Формулы сокращенного умножения.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

 

 Формулировка темы урока

Рас­смот­рим фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

 Выведение и доказательство формулы квадрата суммы

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат суммы равен квад­ра­ту пер­во­го числа плюс удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Дан­ную фор­му­лу легко пред­ста­вить гео­мет­ри­че­ски.

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной :

 – пло­щадь квад­ра­та.

С дру­гой сто­ро­ны, этот же квад­рат можно пред­ста­вить иначе, раз­бив сто­ро­ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад­рат

Тогда пло­щадь квад­ра­та можно пред­ста­вить в виде суммы пло­ща­дей:

.

По­сколь­ку квад­ра­ты были оди­на­ко­вы, то их пло­ща­ди равны, зна­чит:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли гео­мет­ри­че­ски фор­му­лу квад­ра­та суммы.

 Решение примеров на формулу квадрат суммы

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 1:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер решен с при­ме­не­ни­ем фор­му­лы квад­ра­та суммы.

При­мер 2:

.

При­мер 3:

+1.

 Выведение формулы квадрата разности

Вы­ве­дем фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат раз­но­сти равен квад­ра­ту пер­во­го числа минус удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

 Решение примеров на формулу квадрат разности

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 4:

.

При­мер 5:

.

При­мер 6:

.

Фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти могут ра­бо­тать как слева на­пра­во, так и спра­ва на­ле­во. При ис­поль­зо­ва­нии слева на­пра­во это будут фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния, они при­ме­ня­ют­ся при вы­чис­ле­нии и пре­об­ра­зо­ва­нии при­ме­ров. А при ис­поль­зо­ва­нии спра­ва на­ле­во – фор­му­лы раз­ло­же­ния на мно­жи­те­ли.

Рас­смот­рим при­ме­ры, в ко­то­рых нужно раз­ло­жить за­дан­ный мно­го­член на мно­жи­те­ли, при­ме­няя фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти. Для этого нужно очень вни­ма­тель­но по­смот­реть на мно­го­член и опре­де­лить, как имен­но его пра­виль­но раз­ло­жить.

 Решение примеров на разложение многочлена на множители

При­мер 7:

.

Ком­мен­та­рий: для того, чтобы раз­ло­жить мно­го­член на мно­жи­те­ли, нужно опре­де­лить, что пред­став­ле­но в дан­ном вы­ра­же­нии. Итак, мы видим квад­рат  и квад­рат еди­ни­цы. Те­перь нужно найти удво­ен­ное про­из­ве­де­ние – это . Итак, все необ­хо­ди­мые эле­мен­ты есть, нужно толь­ко опре­де­лить, это квад­рат суммы или раз­но­сти. Перед удво­ен­ным про­из­ве­де­ни­ем стоит знак плюс, зна­чит, перед нами квад­рат суммы.

При­мер 8:

.

При­мер 9:

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно вы­не­сти минус за скоб­ки, чтобы можно было уви­деть нуж­ную нам фор­му­лу.

 Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний:

При­мер 10:

;

;

;

;

;

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно упро­стить левую часть, при­ме­няя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та раз­но­сти, после этого при­ве­сти по­доб­ные члены. После этого пе­ре­не­сти все неиз­вест­ные в левую часть, а сво­бод­ный член в пра­вую и ре­шить эле­мен­тар­ное ли­ней­ное урав­не­ние.

При­мер 11:

Вы­чис­лить: .

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно при­ме­нить фор­му­лы раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та суммы, после этого со­кра­тить по­лу­чен­ную дробь.

При­мер 12:

До­ка­зать ра­вен­ство:

.

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли :

.

Из каж­до­го мно­жи­те­ля вы­не­сем минус еди­ни­цу за скоб­ки:

.

Мы до­ка­за­ли ра­вен­ство (a - b)2 = (b - a)2.

Дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся очень по­лез­ным при упро­ще­нии вы­ра­же­ний. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 13:

Раз­ло­жить на мно­жи­те­ли: .

При­мер 14:

До­ка­жи­те, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

Пред­ста­вим про­из­воль­ное нечет­ное число как , а его квад­рат, со­от­вет­ствен­но, как . За­пи­шем вы­ра­же­ние со­глас­но усло­вию:

.

Упро­стим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние:

.

Чтобы до­ка­зать, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние крат­но вось­ми, нам нужно до­ка­зать, что оно де­лит­ся на 2 и на 4. Оче­вид­но, что вы­ра­же­ние крат­но че­ты­рем, так как в нем есть мно­жи­тель 4. По­это­му нам нужно до­ка­зать, что  де­лит­ся на 2.

За­пись  – это про­из­ве­де­ние двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел, а оно все­гда крат­но двум, так как из двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел одно все­гда будет чет­ным, а вто­рое, со­от­вет­ствен­но, нечет­ным, а про­из­ве­де­ние чет­но­го числа на нечет­ное крат­но двум, зна­чит, вы­ра­же­ние  крат­но вось­ми. Итак, мы до­ка­за­ли, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

 Выводы по уроку

Вывод: на дан­ном уроке мы вы­ве­ли фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти и на­учи­лись ре­шать самые раз­но­об­раз­ные за­да­чи на при­ме­не­ние этих фор­мул.

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

 

 Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока

На­пом­ним, что на преды­ду­щем уроке мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти. За­пи­шем их:

.

 Вывод формулы разности квадратов

Вы­ве­дем фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов. Вы­пол­ним умно­же­ние дву­чле­нов по пра­ви­лу:

.

Итак, .

Сло­вес­но дан­ная фор­му­ла вы­гля­дит так: раз­ность квад­ра­тов двух вы­ра­же­ний равна про­из­ве­де­нию суммы этих вы­ра­же­ний на их раз­ность.

 мы на­зы­ва­ем раз­но­стью квад­ра­тов.

 мы на­зы­ва­ем квад­ра­том раз­но­сти, не сле­ду­ет пу­тать два этих вы­ра­же­ния.

 Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Рас­смот­рим при­ме­не­ние фор­мул в ти­по­вых за­да­чах. Нач­нем с задач на пря­мое при­ме­не­ние фор­му­лы.

При­мер 1: .

При­мем  за ,  за , по­лу­чим:

.

Рас­пи­шем со­глас­но фор­му­ле:

.

Пе­рей­дем к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

.

Стан­дарт­ная ошиб­ка:

по­ме­ня­ем в скоб­ке со зна­ком плюс сла­га­е­мые ме­ста­ми, по­лу­чим:

.

Часто при такой за­пи­си пу­та­ют, какой квад­рат сле­ду­ет вы­честь из ка­ко­го:

.

 Решение примеров на прямое применение формулы

При­мер 2:

.

Ком­мен­та­рий: если воз­ни­ка­ют за­труд­не­ния, можно, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру, за­ме­нить одно из вы­ра­же­ний на а, а вто­рое на b, чтобы легче было уви­деть нуж­ную фор­му­лу.

При­мер 3:

.

Ком­мен­та­рий: в дан­ном при­ме­ре сле­ду­ет быть вни­ма­тель­ны­ми и не до­пу­стить ти­по­вую ошиб­ку, опи­сан­ную выше. Для этого удоб­но в пер­вой скоб­ке по­ме­нять сла­га­е­мые ме­ста­ми.

Пе­рей­дем к за­да­чам на об­рат­ное при­ме­не­ние фор­му­лы – раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли.

При­мер 4:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер решен из опре­де­ле­ния раз­но­сти квад­ра­тов. Нужно толь­ко опре­де­лить, квад­ра­том ка­ко­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся пер­вый од­но­член и вто­рой.

При­мер 5:

.

При­мер 6:

Ком­мен­та­рий: в дан­ном при­ме­ре нужно несколь­ко раз при­ме­нить изу­ча­е­мую фор­му­лу. Может быть за­да­но из по­лу­чен­ной в конце длин­ной фор­му­лы по­лу­чить стан­дарт­ный вид мно­го­чле­на, тогда нужно по­сте­пен­но пе­ре­мно­жать скоб­ки между собой и сво­ра­чи­вать вы­ра­же­ние до про­стей­ше­го.

 Примеры на комплексное применение нескольких формул

Сле­ду­ю­щий тип задач – ком­би­ни­ро­ван­ное при­ме­не­ние несколь­ких фор­мул.

При­мер 7 – упро­стить:

.

Ком­мен­та­рий: в дан­ном при­ме­ре нужно при­ме­нить две фор­му­лы: раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та раз­но­сти, в по­лу­чен­ном вы­ра­же­нии при­ве­сти по­доб­ные члены.

При­мер 8:

.

 Решение уравнений и вычислительных задач

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний.

При­мер 9:

.

Рас­смот­рим вы­чис­ли­тель­ные за­да­чи.

При­мер 10:

.

При­мер 11:

.

 Выводы по уроку и домашнее задание

Вывод: на дан­ном уроке мы вы­ве­ли фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов и ре­ши­ли много раз­лич­ных при­ме­ров, а имен­но урав­не­ния, вы­чис­ли­тель­ные за­да­чи, за­да­ния на пря­мое и об­рат­ное ис­поль­зо­ва­ние вы­ве­ден­ной фор­му­лы и дру­гие. Кроме того, ре­ши­ли несколь­ко задач на ком­плекс­ное при­ме­не­ние несколь­ких фор­мул.

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

 

 Выведение формулы разности кубов

При изу­че­нии фор­мул со­кра­щен­но­го умно­же­ния мы уже изу­чи­ли:

 – квад­рат суммы и раз­но­сти;

 – раз­ность квад­ра­тов.

Вы­ве­дем фор­му­лу раз­но­сти кубов.

.

Наша за­да­ча – до­ка­зать, что при рас­кры­тии ско­бок в пра­вой части и при­ве­де­нии по­доб­ных сла­га­е­мых мы при­дем в ре­зуль­та­те к левой части.

Вы­пол­ня­ем умно­же­ние мно­го­чле­нов:

.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вы­ра­же­ние  на­зы­ва­ет­ся непол­ным квад­ра­том суммы, так как от­сут­ству­ет двой­ка перед про­из­ве­де­ни­ем вы­ра­же­ний.

 Выведение формулы суммы кубов

Опре­де­ле­ние

Раз­ность кубов двух вы­ра­же­ний есть про­из­ве­де­ние раз­но­сти этих вы­ра­же­ний на непол­ный квад­рат их суммы.

Вы­ве­дем фор­му­лу суммы кубов.

.

Вы­пол­ня­ем умно­же­ние мно­го­чле­нов:

.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вы­ра­же­ние  на­зы­ва­ет­ся непол­ным квад­ра­том раз­но­сти, так как от­сут­ству­ет двой­ка перед про­из­ве­де­ни­ем вы­ра­же­ний.

 Задачи на упрощение выражений

Опре­де­ле­ние

Сумма кубов двух вы­ра­же­ний есть про­из­ве­де­ние суммы этих вы­ра­же­ний на непол­ный квад­рат их раз­но­сти.

При­мер 1 – упро­стить вы­ра­же­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

.

При­мер 2 – упро­стить вы­ра­же­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – суммы кубов:

.

 Разложение на множители

При­мер 3 – раз­ло­жить на мно­жи­те­ли:

.

Неслож­но за­ме­тить фор­му­лу раз­но­сти кубов:

.

При­ме­ня­ем изу­ча­е­мую фор­му­лу:

.

При­мер 4 – раз­ло­жить на мно­жи­те­ли:

.

Неслож­но за­ме­тить фор­му­лу раз­но­сти кубов:

.

При­ме­ня­ем изу­ча­е­мую фор­му­лу:

.

 

 Решение уравнений

При­мер 5 – ре­шить урав­не­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

.

При­мер 6 – ре­шить урав­не­ние:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

z3 = -13

z = -1

 Вычислительные задачи

При­мер 7 – вы­чис­лить при :

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изу­ча­е­мая фор­му­ла – раз­но­сти кубов:

.

Под­ста­вим зна­че­ние пе­ре­мен­ной:

.

При­мер 8: до­ка­жи­те, что .

До­ка­за­тель­ство.

При­ме­ним фор­му­лу раз­но­сти кубов и раз­ло­жим за­дан­ное вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли:

.

Вто­рую скоб­ку оста­вим без из­ме­не­ний, вы­пол­ним вы­чис­ле­ния в пер­вой скоб­ке:

.

По­лу­чи­ли про­из­ве­де­ние чисел, со­дер­жа­щее мно­жи­тель 25, оче­вид­но, что дан­ное вы­ра­же­ние крат­но 25.

Вывод: на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы раз­но­сти и суммы кубов и их при­ме­не­ние для раз­лич­ных типов задач.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-kvadrat-summy-i-kvadrat-raznosti?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-raznost-kvadratov?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-raznost-kubov-i-summa-kubov?konspekt&chapter_id=7

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=mSYTBWaQIfA

Источник теста: Алгебра. 7-9 классы. Тесты для учащихся общеобразовательных учреждений. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская.

Файлы