7 класс. Алгебра. Формулы сокращенного умножения.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы вспомним правило деления одночлена на одночлен и сформулируем основные опорные факты. Добавим некоторые теоретические сведения к уже известным и выведем правило деления многочлена на одночлен. После этого выполним ряд примеров различной сложности для овладения техникой деления многочлена на одночлен.

 

 Напоминание правила деления одночлена на одночлен

На­пом­ним, что мно­го­член – это сумма од­но­чле­нов, и всю эту сумму нужно раз­де­лить на неко­то­рый од­но­член. Мы умеем де­лить од­но­член на од­но­член. Вспом­ним, на чем ба­зи­ру­ет­ся де­ле­ние од­но­чле­нов. Во-пер­вых, это де­ле­ние сте­пе­ней:

, 

.

Кроме того, мы опи­ра­лись на свой­ство де­ле­ния:

.

При­мер 1:

.

 Формулировка правила деления многочлена на одночлен

Итак, те­перь, чтобы де­лить сумму од­но­чле­нов на один од­но­член, нам нужен тре­тий опор­ный факт:

 – чтобы сумму чисел раз­де­лить на число, нужно каж­дое сла­га­е­мое раз­де­лить на это число.

На ос­но­ва­нии трех при­ве­ден­ных выше ба­зо­вых пра­вил мы можем де­лить мно­го­член на од­но­член, для этого мы долж­ны каж­дый член мно­го­чле­на раз­де­лить на од­но­член, ре­зуль­тат ал­геб­ра­и­че­ски сло­жить.

 Решение простейших примеров

Рас­смот­рим при­ме­ры.

При­мер 2:

.

Ком­мен­та­рий: чтобы ре­шить дан­ный при­мер, мы, со­глас­но пра­ви­лу, раз­би­ли дробь на сумму дро­бей, то есть каж­дый член мно­го­чле­на по­де­ли­ли на од­но­член, между дро­бя­ми по­ста­ви­ли со­от­вет­ству­ю­щий знак – ал­геб­ра­и­че­ски сло­жи­ли, после по пра­ви­лу по­де­ли­ли од­но­член на од­но­член и по­лу­чи­ли в ре­зуль­та­те дву­член.

Ино­гда при­ме­ня­ет­ся дру­гая форма за­пи­си:

.

Ком­мен­та­рий: в дан­ном слу­чае в чис­ли­те­ле в каж­дом члене од­но­чле­на вы­де­ля­ют мно­жи­тель, на ко­то­рый вы­пол­ня­ет­ся де­ле­ние, а затем ана­ло­гич­но пер­во­му спо­со­бу раз­би­ва­ют дробь ну сумму дро­бей и вы­пол­ня­ют де­ле­ние.

При­мер 3:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му: де­ле­ние мно­го­чле­на на од­но­член за­ме­ня­ет­ся ал­геб­ра­и­че­ской сум­мой дро­бей: каж­дый член мно­го­чле­на от­дель­но де­лит­ся на од­но­член, и по­лу­ча­ем ре­зуль­тат, в дан­ном слу­чае дву­член.

 Решение примеров на поиск делителей многочлена

При­мер 4 – найти три де­ли­те­ля мно­го­чле­на:

.

Пер­вым де­ли­те­лем будет од­но­член ; дан­ный мно­го­член де­лит­ся на , так как все его члены со­дер­жат  в ка­кой-то сте­пе­ни, и ми­ни­маль­ная сте­пень – пер­вая.

Вто­рым де­ли­те­лем возь­мем ; мы уже объ­яс­ни­ли, что мно­го­член де­лит­ся на , те­перь ска­жем, что каж­дый од­но­член, а зна­чит и мно­го­член, де­лит­ся на любое число, зна­чит, де­лит­ся на . Итак, мно­го­член де­лит­ся на оба мно­жи­те­ля од­но­чле­на, зна­чит, де­лит­ся на од­но­член.

Тре­тьим де­ли­те­лем возь­мем число . В преды­ду­щем пунк­те мы ска­за­ли, что мно­го­член можно раз­де­лить на любое число.

Самое глав­ное в таком типе задач – ми­ни­маль­ная сте­пень пе­ре­мен­ной в чис­ли­те­ле, так как на любую сте­пень, мень­шую или рав­ную ми­ни­маль­ной, де­лить можно, а на боль­шую – нет.

При­мер 5 – найти пять непо­доб­ных де­ли­те­лей:

.

На­пом­ним, что непо­доб­ные од­но­чле­ны от­ли­ча­ют­ся бук­вен­ной ча­стью.

В каж­дом члене мно­го­чле­на есть мно­жи­тель  в ка­кой-ни­будь сте­пе­ни, зна­чит, мно­го­член можно раз­де­лить на .

Кроме того, в каж­дом члене есть мно­жи­тель , зна­чит, можно раз­де­лить на .

Кроме того, по­сколь­ку ми­ни­маль­ная сте­пень b – вто­рая, мно­го­член можно по­де­лить на .

Оче­вид­но, что можно по­де­лить и на , так как ми­ни­маль­ная сте­пень  – чет­вер­тая.

И, ко­неч­но, можно по­де­лить на , так как на оба мно­жи­те­ля в от­дель­но­сти можно по­де­лить, а зна­чит и на про­из­ве­де­ние можно по­де­лить.

Ответ: вы­бра­ны сле­ду­ю­щие непо­доб­ные де­ли­те­ли , , , , .

При­мер 6 – вы­брать среди на­бо­ра од­но­чле­нов де­ли­те­ли за­дан­но­го мно­го­чле­на:

.

Дан набор од­но­чле­нов:

, , , , .

По­сколь­ку ми­ни­маль­ная сте­пень  в мно­го­члене – пер­вая, то од­но­чле­ны , ,  не яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми мно­го­чле­на, так как в них сте­пень  боль­ше.

Ми­ни­маль­ная сте­пень  – также пер­вая, зна­чит, од­но­член  тоже не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем.

Остал­ся толь­ко од­но­член , он может быть де­ли­те­лем за­дан­но­го мно­го­чле­на, так как все члены мно­го­чле­на со­дер­жат  и  как ми­ни­мум в пер­вой сте­пе­ни.

Ответ: из на­бо­ра од­но­чле­нов толь­ко  яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем за­дан­но­го мно­го­чле­на.

Вывод: на этом уроке мы сфор­му­ли­ро­ва­ли пра­ви­ло де­ле­ния мно­го­чле­на на од­но­член и вы­пол­ни­ли ряд раз­лич­ных при­ме­ров. В даль­ней­шем на­ра­бо­тан­ная тех­ни­ка ста­нет ос­но­вой для изу­че­ния более слож­ных тем.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/delenie-mnogochlena-na-odnochlen?konspekt&chapter_id=7

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=JKraY9jT8k4

Файлы