10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Преобразования сумм и произведений тригонометрических функций.

Комментарии преподавателя

Пре­об­ра­зо­ва­ние про­из­ве­де­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций в сумму

 1. Введение. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму

На уроке до­ка­зы­ва­ют­ся фор­му­лы пре­об­ра­зо­ва­ния про­из­ве­де­ний трех видов: си­ну­са на синус, ко­си­ну­са на ко­си­нус и си­ну­са на ко­си­нус, ре­ша­ет­ся несколь­ко при­ме­ров на ис­поль­зо­ва­ние этих фор­мул.

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

1) Фор­му­лы си­ну­са  раз­но­сти и суммы:

Скла­ды­вая, по­лу­ча­ем:

от­сю­да,

2) Фор­му­лы ко­си­ну­са  раз­но­сти и суммы:

Скла­ды­вая, по­лу­ча­ем:

Что можно за­пи­сать:

3) Вы­чи­тая ко­си­нус суммы из ко­си­ну­са раз­но­сти, по­лу­чим:

,

что пре­об­ра­зу­ет­ся в фор­му­лу:

 2. Проверка полученных тождеств

Про­ве­рить тож­де­ство:

Имеем:

т.е. 

Про­ве­рим тож­де­ство:

Ис­поль­зуя фор­му­лу 

имеем:

учи­ты­вая, что 

Про­ве­рим

Ис­поль­зуя фор­му­лу

имеем:

учи­ты­вая свой­ство нечет­но­сти си­ну­са 

Тож­де­ства про­ве­ре­ны – пра­вая часть при­ве­де­на к левой части.

 3. Использование формул при решении задач

За­да­ние: вы­чис­лить, пре­об­ра­зо­вы­вая про­из­ве­де­ния в сумму.

1) 

Ре­ше­ние:

Ответ: 

2) 

Ре­ше­ние:

Ответ: 

 4. Решение уравнения

Ре­шить урав­не­ние:

Ре­ше­ние: вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой 

Ответ: 

 5. Итог урока

При до­ка­за­тель­стве были ис­поль­зо­ва­ны:

На уроке рас­смат­ри­ва­лись фор­му­лы, по ко­то­рым про­из­ве­де­ния три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций можно пре­об­ра­зо­вать в суммы.

Пре­об­ра­зо­ва­ние про­из­ве­де­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций в сумму (про­дол­же­ние)

 6. Продолжение. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму

На уроке про­дол­жа­ют изу­чать­ся фор­му­лы пре­об­ра­зо­ва­ния про­из­ве­де­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций в сумму, вспо­ми­на­ют­ся фор­му­лы для про­из­ве­де­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, ре­ша­ют­ся несколь­ко при­ме­ров на вы­чис­ле­ние, упро­ще­ние, до­ка­за­тель­ство тож­де­ства и урав­не­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем этих фор­мул.

 7. Использование формул при решении задач

1. До­ка­зать тож­де­ство:

До­ка­за­тель­ство:

Все пре­об­ра­зо­ва­ния можно сде­лать в об­рат­ном по­ряд­ке.

2. Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние: вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми:

По­лу­чим:

где

Ответ:

3. Вы­чис­лить:

 

Ре­ше­ние: вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми:

По­лу­чим:

Ответ: 

 8. Решение уравнений

Ре­ко­мен­да­ции: про­из­ве­де­ние три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций це­ле­со­об­раз­но пре­об­ра­зо­вы­вать в сумму для даль­ней­ше­го при­ве­де­ния по­доб­ных сла­га­е­мых.

4. Ре­шить урав­не­ние:

1) 

Ре­ше­ние:(1-й спо­соб) ис­поль­зуя фор­му­лу про­из­ве­де­ния си­ну­са на ко­си­нус 

по­лу­чим:

Ответ: 

 

Ре­ше­ние: (2-й спо­соб)  ис­поль­зуя фор­му­лу

по­лу­ча­ет­ся:

Тогда:

Ответ: 

2) 

Ре­ше­ние: ис­поль­зуя фор­му­лу

по­лу­ча­ет­ся:

Рас­смот­рим от­дель­но по­лу­чен­ное урав­не­ние.

3) 

Ре­ше­ние: ис­поль­зуя фор­му­лу

по­лу­ча­ет­ся:

Ответ:

Для воз­мож­но­сти объ­еди­не­ния по­лу­чен­ных мно­жеств изоб­ра­зим их на еди­нич­ной окруж­но­сти  

                 

                         Рис. 1.                                                                 Рис. 2.

Объ­еди­нить нель­зя (см. рис.1-2.)

 9. Итог урока

На уроке рас­смат­ри­ва­лись и ис­поль­зо­ва­лись фор­му­лы пре­об­ра­зо­ва­ния про­из­ве­де­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций в сумму.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/preobrazovanie-proizvedeniy-trigonometricheskih-funktsiy-v-summu

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/preobrazovanie-proizvedeniy-trigonometricheskih-funktsiy-v-summu-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=uZqRFX1tCy8

http://www.youtube.com/watch?v=Jm3QHz7-H_g

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://library.naash.ru/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B8%20%D1%86%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%83%D1%80%D1%81%D1%8B%20%D0%9D%D0%90%D0%90%D0%A8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/10%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%20%D1%87.%201-2/11/i.jpg

http://dist-tutor.info/file.php/263/-6.png

http://test-training.ru/category/algebra-10-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-10-klassa.html

Файлы