10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.

Пределы функций.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Пределы функций.

Комментарии преподавателя

Пример функции

Пусть задана функция и значение , значение аргумента. Что происходит с функцией, если ?

Рассмотрим функцию , за примем число 2, оно принадлежит области определения, т. е. , также известно, что .

Пусть , нам необходимо выяснить, что происходит с функцией и какова роль числа (рис. 1).

Рис. 1. График функции ,

Понятие предела функции, выделение

Начнем с выделения ε-окрестности в точке , – это произвольное малое число, например , тогда , , имеем -окрестность для . Имеем горизонтальную полосу шириной , получаем точки и .

Рис. 2. График функции , , ,

Значение достигается, когда , Значение достигается, когда .

меньше, чем , однако точка ближе к 2, значит, за мы выберем .

, так мы получили -окрестность для , получили точку (рис. 2).

– окрестность точки 2 выделяет такой кусок графика, который целиком расположен в горизонтальной полосе шириной .

Рис. 3. График функции ,

Кривая находится внутри горизонтальной полосы – это означает, что как только попадет в δ-окрестность точки 2, попадет в -окрестность точки .

То есть y и точность приближения зависит от . может быть сколько угодно малым числом, главное, чтобы положительным, но при заданном можно найти такое , что как только попадет в δ-окрестность точки 2, попадет в -окрестность точки , именно этим обстоятельством нам важна .

при . Для любой узкой горизонтальной полосы вокруг точки найдется подходящая вертикальная полоса вокруг точки такая, что выделяет такой кусок графика, который целиком находится в горизонтальной полосе (рис. 3).

Число называется пределом функции при , если сказанное справедливо для любого положительного .

Записывается это следующим образом:

Если находится вблизи точки 2, то находится вблизи своего предела, вблизи точки .

Предел функции в точке

Была функция , мы умножим числитель на , и разделим числитель на , ясно, что в точке 2 функция не существует, распишем эту функцию:

Наша новая функция совпадает со старой функцией везде, кроме одной точки, нарисуем новый чертеж (рис. 4):

Рис. 4. График

Важные отличия функций и

Важные отличия:

.

– предел равен .
Непрерывна в точке .

.

– предел .
Главное различие – это наличие разрыва в ОДЗ.
Не является непрерывной в точке (рисунок 4).

Определения функции

Если первая функция существовала в точке 2, то вторая функция не существует в точке 2, а предел у них один и тот же. непрерывна потому, что предел этой функции при равен , т. е. значению функции в точке 2, чего нельзя сказать про функцию номер 2.

можно заменить на .

можно заменить другим числом из ОДЗ и получить важные определения:

Функцию называют непрерывной в точке , если выполняется соотношение
Функцию называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Утверждение непрерывности функции

Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение , т. е.

Это утверждение позволяет определять, где данная функция непрерывна.

Теорема для вычисления пределов

Но каким образом вычислять пределы? Для этого существует теорема:

Если , , то:

– предел суммы и при равен сумме пределов, т. е. .
– предел произведения и g при равен произведению пределов, т. е..
– предел частного при , есть частное от пределов, т. е. при .
– предел произведения коэффициента на функцию равен умноженному на предел этой функции, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример 1, найти

Найти .

Во-первых, нужно взять предел от и отнять предел , во-вторых, в точке 1 функция непрерывна, значит, предел функции в этой точке равен значению функции при , т. е. единицу подставляем, получаем:

Ответ: -1.

Пример 2, найти

Найти .

0 входит в область определения функции, значит, предел функции при равен значению функции в точке 0, функция непрерывна в точке 0, т. е. подставляем 0 и получаем:

Ответ: 0.

Вывод
Мы познакомились с важными понятиями предела функции в точке, непрерывности функции в точке, привели примеры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/predel-funktsii

http://www.youtube.com/watch?v=cU7kls536Mc

http://www.youtube.com/watch?v=N8IcQyAdC-Y

http://www.youtube.com/watch?v=VgguXT06ozs

http://www.youtube.com/watch?v=jYgmiFB_IWA

http://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-predel-funktsii-na-beskonechnosti

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-predel-funktsii-na-beskonechnosti.pptx

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/26-predel-funktsii