10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.
10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.
Комментарии преподавателя
Пример функции 
Пусть задана функция 
и значение 
, значение аргумента. Что происходит с функцией, если 
?
Рассмотрим функцию 
, за 
примем число 2, оно принадлежит области определения, т. е. 
, также известно, что 
.
Пусть 
, нам необходимо выяснить, что происходит с функцией и какова роль числа (рис. 1).
Рис. 1. График функции 
, 
Понятие предела функции, выделение 
Начнем с выделения ε-окрестности в точке 
, 
– это произвольное малое число, например 
, тогда 
, 
, имеем -окрестность для 
. Имеем горизонтальную полосу шириной 
, получаем точки 
и 
.
Рис. 2. График функции , ,
, 
Значение 
достигается, когда 
, Значение 
достигается, когда 
.
меньше, чем , однако точка 
ближе к 2, значит, за 
мы выберем .
, так мы получили -окрестность для 
, получили точку 
(рис. 2).
– окрестность точки 2 выделяет такой кусок графика, который целиком расположен в горизонтальной полосе шириной .
Рис. 3. График функции ,
Кривая 
находится внутри горизонтальной полосы – это означает, что как только 
попадет в δ-окрестность точки 2, 
попадет в -окрестность точки .
То есть y 
и точность приближения зависит от . может быть сколько угодно малым числом, главное, чтобы положительным, но при заданном можно найти такое , что как только попадет в δ-окрестность точки 2, попадет в -окрестность точки , именно этим обстоятельством нам важна 
.
при . Для любой узкой горизонтальной полосы вокруг точки найдется подходящая вертикальная полоса вокруг точки 
такая, что выделяет такой кусок графика, который целиком находится в горизонтальной полосе (рис. 3).
Число называется пределом функции при , если сказанное справедливо для любого положительного .
Записывается это следующим образом:
Если находится вблизи точки 2, то находится вблизи своего предела, вблизи точки .
Предел функции в точке 
Была функция 
, мы умножим числитель на 
, и разделим числитель на , ясно, что в точке 2 функция не существует, распишем эту функцию:
Наша новая функция совпадает со старой функцией везде, кроме одной точки, нарисуем новый чертеж (рис. 4):
Рис. 4. График 
Важные отличия функций 
и 
Важные отличия:
.
– предел равен 
.- Непрерывна в точке .
.
– предел 
.- Главное различие – это наличие разрыва в ОДЗ.
- Не является непрерывной в точке (рисунок 4).
Определения функции
Если первая функция существовала в точке 2, то вторая функция не существует в точке 2, а предел у них один и тот же. 
непрерывна потому, что предел этой функции при равен , т. е. значению функции в точке 2, чего нельзя сказать про функцию номер 2.
можно заменить на .
можно заменить другим числом из ОДЗ и получить важные определения:
- Функцию называют непрерывной в точке , если выполняется соотношение
- Функцию называют непрерывной на промежутке
, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Утверждение непрерывности функции
Если выражение 
составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение , т. е.
Это утверждение позволяет определять, где данная функция непрерывна.
Теорема для вычисления пределов
Но каким образом вычислять пределы? Для этого существует теорема:
Если 
, 
, то:
– предел суммы 
и 
при равен сумме пределов, т. е. 
.
– предел произведения и g при равен произведению пределов, т. е.
.
– предел частного 
при , есть частное от пределов, т. е.
при 
.
– предел произведения коэффициента 
на функцию равен 
умноженному на предел этой функции, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.
Пример 1, найти 
Найти 
.
Во-первых, нужно взять предел от 
и отнять предел 
, во-вторых, в точке 1 функция непрерывна, значит, предел функции в этой точке равен значению функции при 
, т. е. единицу подставляем, получаем:
Ответ: -1.
Пример 2, найти 
Найти 
.
0 входит в область определения функции, значит, предел функции при 
равен значению функции в точке 0, функция непрерывна в точке 0, т. е. подставляем 0 и получаем:
Ответ: 0.
Вывод
Мы познакомились с важными понятиями предела функции в точке, непрерывности функции в точке, привели примеры.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/predel-funktsii
http://www.youtube.com/watch?v=cU7kls536Mc
http://www.youtube.com/watch?v=N8IcQyAdC-Y
http://www.youtube.com/watch?v=VgguXT06ozs
http://www.youtube.com/watch?v=jYgmiFB_IWA
http://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-predel-funktsii-na-beskonechnosti
http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-predel-funktsii-na-beskonechnosti.pptx
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/26-predel-funktsii