10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.

Комментарии преподавателя

Правила дифференцирования. Типовые задачи

1. Введение

До сих пор мы находили производные  простейших функций, а на этом уроке мы рассмотрим производную суммы, разности, произведения и частного  функций.

2. Правила дифференцирования: производная суммы

1. Имеем 

Пример.

Дано: ;

найти .

Решение.

1) Найти производную в любой точке 

2) .

Первое правило дифференцирования:

Если функции  и  имеют производную в точке , то и их сумма имеет производную в точке , причем .

2. , где  - постоянный множитель.

Примеры.

1) 

2) 

Второе правило дифференцирования:

Если функция имеет производную в точке , то и функция  имеет производную в этой точке, причем выполняется .

Итак, постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Правила дифференцирования: производная произведения

Иногда это пишут в терминах  и , где  и  – функции, которые зависят от :

.

Пример.

 Третье правило дифференцирования.

Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое - это произведение производной первой функции на вторую, а второе слагаемое – это произведение первой функции на производную второй.

4. Правила дифференцирования: производная частного

.

Пример.

Четвертое правило дифференцирования: производная частного выражается по формуле  и для данного примера принимает вид (*). В числителе – произведение производной числителя на знаменатель минус проиведение числителя на производную знаменателя; в  знаменателе – квадрат знаменателя.

Мы  рассмотрели правила дифференцирования.

5. Типовые задачи

Типовыми задачами здесь являются, например, те которые были рассмотрены, а именно, нахождение производных в любой точке или значения производных в конкретной точке.

1. Пример № 2826 a)

Найти , если 

Решение.

1) Найти производную в любой точке, пользуясь правилом для производной произведения

Итак, нашли производную в любой точке .

2) 

3) Ответ: 

Задача может быть поставлена по-другому, например, найти тангенс угла наклона касательной к функции в точке .

Еще одна типовая задача.

Покажем, что верно:  

Напомним, что ,  . Найдем производную  и посмотрим, будет она подчиняться формуле  или нет.

Таким образом , то есть производная подчиняется правилу. Это не является строгим доказательством. Понятно, что таким образом можно организовать производную пятой, шестой и любой другой степени.

6. Итог урока

На уроке были рассмотрены основные правила дифференцирования и типовые задачи на них.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/algebra/10-klass/video/pravilo-differentsirovaniya-tipovye-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=nRvqlOoadxI

http://www.youtube.com/watch?v=iBhF3CiRK6Y

http://luebucingay.science/pic-www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2013/02/10-3-0.jpg

http://bahmach.garo-gallery.com/imagis/-net-programming-a-practical-guide-using-c-pradeep-tapadiya-1283-small.jpg

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

Файлы