7 класс. Алгебра. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы научимся раскладывать многочлен на множители с применением всех ранее изученных методов. Мы научимся решать задачи с различными комбинациями формул сокращенного умножения и методов разложения.

 

 

Тема: Раз­ло­же­ние мно­го­чле­нов на мно­жи­те­ли

Урок: Раз­ло­же­ние мно­го­чле­нов на мно­жи­те­ли в ком­би­на­ции с фор­му­ла­ми со­кра­щен­но­го умно­же­ния

 1. Вводная информация

На преды­ду­щих уро­ках мы изу­чи­ли два спо­со­ба раз­ло­же­ния мно­го­чле­на на мно­жи­те­ли – спо­соб вы­не­се­ния об­ще­го мно­жи­те­ля и спо­соб груп­пи­ров­ки. Кроме того, мы изу­чи­ли фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния и го­во­ри­ли, что их также можно ис­поль­зо­вать для раз­ло­же­ния мно­го­чле­на на мно­жи­те­ли.

Те­перь для на­ча­ла рас­смот­рим про­стей­шие спо­со­бы ком­би­ни­ро­ва­ния вы­ше­ука­зан­ных ме­то­дов раз­ло­же­ния.

При­мер 1:

;

Те­перь услож­ним вы­ра­же­ние, умно­жив за­дан­ный мно­го­член на три:

;

Дан­ная фор­му­ла очень по­хо­жа на пол­ный квад­рат, но в таком виде свер­нуть ее мы не можем, но мы видим, что у всех чле­нов есть общий мно­жи­тель и можем вы­не­сти его за скоб­ку. По­лу­ча­ем:

;

Итак, пер­вая ком­би­на­ция это фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния плюс вы­не­се­ние об­ще­го мно­жи­те­ля за скоб­ки.

 2. Примеры на комбинацию вынесения общего множителя и формулы квадрата разности

При­мер 2:

;

Опре­де­лим, что можно вы­не­сти за скоб­ки. Для этого для на­ча­ла най­дем НОД:

;

Вы­не­сем най­ден­ный общий мно­жи­тель:

;

Опре­де­лим, какие бук­вен­ные мно­жи­те­ли можно вы­не­сти. Обе пе­ре­мен­ные a и b есть во всех чле­нах мно­го­чле­на, зна­чит, их можно вы­но­сить. Оста­лось опре­де­лить толь­ко, в какой сте­пе­ни. Для этого най­дем ми­ни­маль­ную сте­пень каж­дой из пе­ре­мен­ных. Это  и . Вы­не­сем най­ден­ную бук­вен­ную часть:

;

Рас­пи­шем по­лу­чен­ную скоб­ку более по­дроб­но, для этого опре­де­лим, квад­ра­та­ми каких вы­ра­же­ний яв­ля­ют­ся пер­вое и тре­тье вы­ра­же­ние, а затем про­ве­рим удво­ен­ное про­из­ве­де­ние:

;

Оче­вид­но, что в скоб­ке стоит пол­ный квад­рат раз­но­сти, так как мы пом­ним его фор­му­лу: . Свер­нем его:

;

 3. Комбинирование способа группировки и формулы разности квадратов

При­мер 3:

;

Сгруп­пи­ру­ем пер­вый, тре­тий и чет­вер­тый член, по­лу­чим:

;

В скоб­ках мы видим квад­рат суммы. Свер­нем его:

;

Те­перь мы видим раз­ность квад­ра­тов. Вспом­ним фор­му­лу: . На ос­но­ва­нии этой фор­му­лы рас­пи­шем наше вы­ра­же­ние:

;

Итак, мы рас­смот­ре­ли ком­би­на­цию спо­со­ба груп­пи­ров­ки и фор­мул со­кра­щен­но­го умно­же­ния.

При­мер 4:

По­сту­па­ем ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру: сна­ча­ла груп­пи­ру­ем члены по схеме «3+1», после этого при­ме­ня­ем фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

;

 

 5. Решение объемных примеров на комбинацию многих способов

При­мер 6:

;

Рас­пи­шем раз­ность квад­ра­тов:

;

При­мер 7:

;

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

;

Во вто­рой скоб­ке мы видим квад­рат суммы, можем свер­нуть его:

;

 6. Выводы по уроку

Вывод: в дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли про­стей­шие ком­би­на­ции спо­со­бов раз­ло­же­ния мно­го­чле­на на мно­жи­те­ли и фор­мул со­кра­щен­но­го умно­же­ния и ре­ши­ли много раз­лич­ных при­ме­ров на раз­ные ва­ри­ан­ты этих ком­би­на­ций.

 

 

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=0OmpBWiszEY

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli-v-kombinatsii-s-formulami-sokraschyonnogo-umnozheniya?konspekt&chapter_id=921

Файлы