10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.
10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.
Комментарии преподавателя
Приближенные вычисления
1. Приближенные вычисления
Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например, если нужно какие-то значения числа , то пишем , и т. д.
Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений. Предположим, что задана функция и эта функция имеет сложный график. Достаточно задать точку , для того чтобы получить касательную. Проведем в точке касательную. Запишем уравнение этой касательной . В окрестности точки график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента невелико. Имеем - точное значение функции в точке . Приближенное значение дает касательная, и если невелико, то , то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).
Рис. 1. График функции и касательная.
Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки ( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение . Если в точке легко вычислить значение , то в новой точке заменим значение на значение , то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .
Например, вычислить приближенно величину (решение ниже).
Вычислить приближенно .
Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).
Рис. 2. График функции .
, а . . Заменим значение функции в точке значением касательной .
; ; . Итак, .
Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.
2. Вывод формулы для приближенных вычислений
Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции в окрестности точки , то есть в точке (см. рис.3).
Рис. 3. Окрестность точки .
Значение функции в точке равно . Доказать, что .
Доказательство.
Заменим функцию касательной.
; ; . Если заменим значение функции значением касательной, то получим .
Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.
Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение .
Рис. 4. Приращение аргумента.
Вычислим приращение (см. рис.4). Отсюда,
.
Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.
3. Итог урока
Итак, мы кратко рассмотрели теорию приближенных вычислений. Суть заключается в том, что сложную кривую в окрестности точки заменяем прямой (касательной к графику функции). И если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/priblizhyonnye-vychisleniya
http://www.youtube.com/watch?v=AB4facycn1Y
http://www.youtube.com/watch?v=9EwRT-Jdv_k
http://u.900igr.net/zip/44a02054dd6503f4c933257ab6648277.zip
http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/derivative.php?part=3&example=1
http://www.mathprofi.ru/priblizhennye_vychislenija_s_pomoshju_differenciala.html
http://function-x.ru/differential.html
http://uchil.net/?cm=52488