10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

Комментарии преподавателя

При­бли­жен­ные вы­чис­ле­ния

 1. Приближенные вычисления

При­бли­жен­ные вы­чис­ле­ния можно рас­смат­ри­вать как одно из при­ме­не­ний про­из­вод­ной, а кон­крет­но ка­са­тель­ной дан­ной функ­ции. С при­бли­же­ни­я­ми мы встре­ча­ем­ся до­воль­но часто, на­при­мер, если нужно ка­кие-то зна­че­ния числа , то пишем ,  и т. д.

Рас­смот­рим общий прием по­лу­че­ния с хо­ро­шей точ­но­стью при­бли­жен­ных зна­че­ний. Пред­по­ло­жим, что за­да­на функ­ция   и эта функ­ция имеет слож­ный гра­фик. До­ста­точ­но за­дать точку , для того чтобы по­лу­чить ка­са­тель­ную. Про­ве­дем в точке  ка­са­тель­ную. За­пи­шем урав­не­ние этой ка­са­тель­ной . В окрест­но­сти точки  гра­фик ка­са­тель­ной и гра­фик дан­ной функ­ции почти не от­ли­ча­ют­ся (см. рис.1). Пред­по­ло­жим, что при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та  неве­ли­ко. Имеем  - точ­ное зна­че­ние функ­ции в точке . При­бли­жен­ное зна­че­ние  дает ка­са­тель­ная, и если   неве­ли­ко, то , то есть зна­че­ние функ­ции в новой точке мало от­ли­ча­ет­ся от зна­че­ния ли­ней­ной функ­ции (ка­са­тель­ной).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции  и ка­са­тель­ная.

Итак, идея про­стая и ясная: в хо­ро­шей точки ( хо­ро­шая озна­ча­ет то, что в этой точке легко вы­чис­лить зна­че­ние функ­ции) легко вы­чис­лить зна­че­ние . Если в точке  легко вы­чис­лить зна­че­ние , то в новой точке  за­ме­ним зна­че­ние  на зна­че­ние , то есть кри­вую за­ме­ним ка­са­тель­ной. По­лу­чим при­мер­ный ре­зуль­тат. Этот ре­зуль­тат будет тем точ­нее, чем мень­ше будет при­ра­ще­ние .

На­при­мер, вы­чис­лить при­бли­жен­но ве­ли­чи­ну  (ре­ше­ние ниже).

Вы­чис­лить при­бли­жен­но .

Сде­ла­ем ил­лю­стра­цию (см. рис.2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции .

, а . . За­ме­ним зна­че­ние функ­ции в точке  зна­че­ни­ем ка­са­тель­ной .

; ; . Итак, .

Таким об­ра­зом, при­бли­жен­ные вы­чис­ле­ния ос­но­вы­ва­ют­ся на урав­не­нии ка­са­тель­ной. Ме­то­ди­ку при­ме­не­ния мы рас­смот­ре­ли на кон­крет­ном при­ме­ре.

 2. Вывод формулы для приближенных вычислений

Рас­смот­рим фор­му­лы для при­бли­жен­ных вы­чис­ле­ний для функ­ции  в окрест­но­сти точки , то есть в точке  (см. рис.3).

Рис. 3. Окрест­ность точки  .

Зна­че­ние функ­ции в точке  равно . До­ка­зать, что .

До­ка­за­тель­ство.

За­ме­ним функ­цию ка­са­тель­ной.

; ; . Если за­ме­ним зна­че­ние функ­ции зна­че­ни­ем ка­са­тель­ной, то по­лу­чим .

По­лу­чи­ли фор­му­лу, ко­то­рая поз­во­ля­ет при­мер­но, с до­ста­точ­ной сте­пе­нью точ­но­сти, вы­чис­лять нуж­ные зна­че­ния.

При­ме­ним эту фор­му­лу для ре­ше­ния при­ме­ра, ко­то­рый был дан вна­ча­ле: найти при­бли­жен­ное зна­че­ние .

Рис. 4. При­ра­ще­ние ар­гу­мен­та.

Вы­чис­лим при­ра­ще­ние  (см. рис.4). От­сю­да,

.

Если осо­бая точ­ность не нужна, то такое при­мер­ное вы­чис­ле­ние до­воль­но эф­фек­тив­но.

 3. Итог урока

Итак, мы крат­ко рас­смот­ре­ли тео­рию при­бли­жен­ных вы­чис­ле­ний. Суть за­клю­ча­ет­ся в том, что слож­ную кри­вую в окрест­но­сти точки  за­ме­ня­ем пря­мой (ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции). И если при­ра­ще­ния ар­гу­мен­та не ве­ли­ки, то для каж­дой функ­ции можно вы­ве­сти со­от­вет­ству­ю­щую фор­му­лу, по ко­то­рой осу­ществ­ля­ют­ся при­бли­жен­ные вы­чис­ле­ния.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/priblizhyonnye-vychisleniya

http://www.youtube.com/watch?v=AB4facycn1Y

http://www.youtube.com/watch?v=9EwRT-Jdv_k

http://u.900igr.net/zip/44a02054dd6503f4c933257ab6648277.zip

http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/derivative.php?part=3&example=1

http://www.mathprofi.ru/priblizhennye_vychislenija_s_pomoshju_differenciala.html

http://function-x.ru/differential.html

http://uchil.net/?cm=52488

Файлы