10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

Комментарии преподавателя

Ти­по­вые за­да­чи на ка­са­тель­ную

 1. Повторение основных понятий, связанных с темой «Уравнение касательной»

Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции  в точке  (см. рис. 1) имеет вид:

Рис. 1. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции  в точке .

Угол на­кло­на ка­са­тель­ной свя­зан с про­из­вод­ной сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 . Урав­не­ние ка­са­тель­ной пол­но­стью опре­де­ля­ет­ся зна­че­ни­ем абс­цис­сы  , по­это­му все за­да­чи на ка­са­тель­ную, слож­ные или неслож­ные, свя­за­ны с тем,  чтобы найти точку . Одним из типов задач на ка­са­тель­ную яв­ля­ют­ся при­бли­жен­ные вы­чис­ле­ния. В окрест­но­сти точки  зна­че­ние функ­ции в точке  и зна­че­ние ор­ди­на­ты ка­са­тель­ной в точке от­ли­ча­ют­ся на малую ве­ли­чи­ну. На этом была ос­но­ва­на вся тео­рия при­бли­жен­ных вы­чис­ле­ний.

Су­ще­ству­ют мно­го­чис­лен­ные за­да­чи на при­ме­не­ние ка­са­тель­ной.

 2. Задача 1

Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го осями ко­ор­ди­нат и ка­са­тель­ной к  кри­вой   в точке . Про­ил­лю­стри­ро­вать ре­ше­ние на чер­те­же.

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции . Най­дем . Зна­чит, в точке  функ­ция имеет ми­ни­мум, в точке  функ­ция равна , 

. Гра­фик функ­ции изоб­ра­жен на  рис.1.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции .

Про­ве­дем в точке  ка­са­тель­ную, ко­то­рая от­се­ка­ет тре­уголь­ник ис­ко­мой пло­ща­ди (см. рис.3).

Рис. 3. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции .

1. Най­дем урав­не­ние ка­са­тель­ной.

Для этого най­дем , . Тогда,

 - урав­не­ние ка­са­тель­ной.

2. Опре­де­лим тре­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го нужно найти:

При , ; при , .

Итак, по­лу­чил­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го из­вест­ны ка­те­ты (см. рис.4).

Рис. 4. Тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат.

3. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка: .

Ответ: .

Итак, одна из стан­дарт­ных задач – найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат. Ме­то­ди­ка по­стро­е­ния ка­са­тель­ной – стан­дарт­ная. Точка  дана – это самый про­стой слу­чай. Нужно про­сто было найти урав­не­ние ка­са­тель­ной, точки пе­ре­се­че­ния с осями, а потом – пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

 3. Задача из практики подготовки к ЕГЭ

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  (см. рис.4) и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ве­ден­ная в точке с абс­цис­сой . Найти зна­че­ние про­из­вод­ной в точке , то есть .

Ре­ше­ние.

Знаем, что . Най­дем тан­генс до­пол­ни­тель­но­го угла  (см. рис.4): .

Рис. 4. Гра­фик функ­ции .

Из ри­сун­ка видно, что , от­сю­да 

.

Ответ: .

 4. Вторая типовая задача

Функ­ция  опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик ее про­из­вод­ной  (см. рис.5). К гра­фи­ку функ­ции про­ве­ли все ка­са­тель­ные, па­рал­лель­ные пря­мой . Найти наи­мень­шую из абс­цисс точек, в ко­то­рых про­ве­де­ны эти ка­са­тель­ные.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку дан гра­фик про­из­вод­ной функ­ции, то в каж­дой точке из­ве­стен тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной. Все ка­са­тель­ные па­рал­лель­ны пря­мой , в ко­то­рой  - уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент.

Рис. 5. Гра­фик про­из­вод­ной функ­ции .

Зна­чит, . Про­ве­дем пря­мую , и най­дем точку с наи­мень­шей абс­цис­сой.

Важно по­ни­мать, что на гра­фи­ке изоб­ра­же­на не сама функ­ция, а ее про­из­вод­ная. Если дана про­из­вод­ная, то из­ве­стен тан­генс угла на­кло­на в каж­дой точке.

Ответ: 

 5. Итог урока

Итак, мы рас­смот­ре­ли ти­по­вые за­да­чи на ка­са­тель­ную. Пре­жде всего нужно уметь стро­ить саму ка­са­тель­ную, по­ни­мать смысл всех па­ра­мет­ров, ко­то­рые вхо­дят в урав­не­ние ка­са­тель­ной. Ре­ши­ли несколь­ко ти­по­вых задач, в ко­то­рых либо дан гра­фик ка­са­тель­ной, либо гра­фик про­из­вод­ной. Ключи к этим за­да­чам лежат в тех опор­ных фак­тах, ко­то­рые были сфор­му­ли­ро­ва­ны и по­вто­ре­ны в на­ча­ле урока.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/tipovye-zadachi-na-kasatelnuyu

http://school.xvatit.com/index.php?title=Уравнение_касательной_к_графику_функции

http://www.reshim.su/blog/uravnenie_kasatelnoj/2015-10-14-645

http://uchil.net/?cm=52488

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/779ef72b0b73617de61c4dc2c21838459e86176ed8f801b37481d34346768467/56a16f54/KmTYbqVG3TgKGL9iUHPR0em0RlLtpxhP_BVgRtkosSgfwonkMOj8PI__aMfad3WZY71hHToni_M3mTC7aMwq3A%3D%3D?uid=0&filename=666.PDF&disposition=attachment&hash=RaLDsjqwggBTdSmademPwU40mOjt%2BFWdduHVDt9R80E%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=8352787&hid=021760e85b03ef221c6c4091fc10c607&media_type=document&tknv=v2

http://www.youtube.com/watch?v=3M16hzw6s3c

http://www.youtube.com/watch?v=kt24DUb2I04

http://www.youtube.com/watch?v=MfcuwNa2cVI

http://www.openclass.ru/sites/default/files/dig_resource/2011/10/_1_ppt_15122.ppt

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

 http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

Файлы