7 класс. Алгебра. Сокращение алгебраических дробей. Тождества.
7 класс. Алгебра. Сокращение алгебраических дробей. Тождества.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение алгебраической дроби, проведем многочисленные аналогии с арифметической дробью. Решим много примеров различной сложности на сокращение алгебраических дробей
Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
1. Формулировка понятия алгебраической дроби
При делении числа на число мы получаем целое число :
Но при делении числа на число мы получаем уже не целое число, и это выражение называем арифметической дробью:
При делении некоторого одночлена на другой одночлен мы получаем третий одночлен:
Но при делении того же самого одночлена на другой одночлен мы не получаем одночлен, а получаем выражение, называемое алгебраической дробью:
Итак, при делении различных одночленов мы можем получить результат в двух видах: в виде одночлена или в виде алгебраической дроби, аналогично целым числам, когда в результате деления целого числа на целое число мы можем получить третье целое число либо арифметическую дробь.
Такая же ситуация возникает и при делении многочлена на одночлен.
в результате деления получен многочлен;
в результате деления получена алгебраическая дробь;
Обратим внимание, что целые числа, одночлены и многочлены также можно рассматривать как алгебраическую дробь в виде выражения деленного на единицу.
2. Работа с арифметическими дробями
Алгебраическая дробь – это деление одного многочлена на другой многочлен: , P – числитель дроби, Q – знаменатель дроби; данные многочлены можно преобразовывать, раскладывать на множители любыми известными нам методами. Дробь можно сокращать на общие множители, то есть упрощать исходную дробь, так же как мы делали с арифметическими выражениями. Рассмотрим пример:
Пример 1:
Чтобы упростить данное выражение, нужно разложить числитель и знаменатель на простые множители:
Теперь можно сократить на общий множитель:
Итак, при работе с арифметическими дробями для упрощения выражения мы и числитель, и знаменатель разлагали на простые множители, опираясь на основную теорему арифметики о разложении составных чисел на простые множители, после чего сокращали общие множители.
3. Алгебраические дроби при делении одночленов
По аналогии действия с алгебраическими дробями заключаются в следующем: нужно и числитель, и знаменатель разложить на множители, а после этого, если есть возможность общие множители сократить. Рассмотрим примеры:
Пример 2:
В результате деления одночленов получен новый одночлен;
Пример 3:
В результате деления одночленов получена алгебраическая дробь;
4. Алгебраические дроби при делении многочленов
Пример 4:
Разложим числитель и знаменатель на множители:
В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь;
Пример 5:
Раскладываем числитель и знаменатель на множители методом вынесения общего множителя:
Применим в знаменателе формулу разности кубов:
Сократим общий множитель:
В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь;
Пример 6:
Разложим числитель и знаменатель на множители:
Сократим общие множители:
В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь;
5. Выводы по уроку
Вывод: в данном уроке мы изучили новое понятие – алгебраическая дробь, и сравнили ее с уже известной нам арифметической дробью. Мы решили много различных примеров на сокращение алгебраических дробей.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/algebraicheskie-drobi-sokraschenie-algebraicheskih-drobey?konspekt&chapter_id=921
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=fmNGKJVi1EA