7 класс. Алгебра. Сокращение алгебраических дробей. Тождества.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение алгебраической дроби, проведем многочисленные аналогии с арифметической дробью. Решим много примеров различной сложности на сокращение алгебраических дробей

 

 

Тема: Раз­ло­же­ние мно­го­чле­нов на мно­жи­те­ли

Урок: Ал­геб­ра­и­че­ские дроби. Со­кра­ще­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей

 1. Формулировка понятия алгебраической дроби

При де­ле­нии числа  на число  мы по­лу­ча­ем целое число :

Но при де­ле­нии числа  на число  мы по­лу­ча­ем уже не целое число, и это вы­ра­же­ние на­зы­ва­ем ариф­ме­ти­че­ской дро­бью:

При де­ле­нии неко­то­ро­го од­но­чле­на на дру­гой од­но­член мы по­лу­ча­ем тре­тий од­но­член:

Но при де­ле­нии того же са­мо­го од­но­чле­на на дру­гой од­но­член мы не по­лу­ча­ем од­но­член, а по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние, на­зы­ва­е­мое ал­геб­ра­и­че­ской дро­бью:

Итак, при де­ле­нии раз­лич­ных од­но­чле­нов мы можем по­лу­чить ре­зуль­тат в двух видах: в виде од­но­чле­на или в виде ал­геб­ра­и­че­ской дроби, ана­ло­гич­но целым чис­лам, когда в ре­зуль­та­те де­ле­ния це­ло­го числа на целое число мы можем по­лу­чить тре­тье целое число либо ариф­ме­ти­че­скую дробь.

Такая же си­ту­а­ция воз­ни­ка­ет и при де­ле­нии мно­го­чле­на на од­но­член.

в ре­зуль­та­те де­ле­ния по­лу­чен мно­го­член;

в ре­зуль­та­те де­ле­ния по­лу­че­на ал­геб­ра­и­че­ская дробь;

Об­ра­тим вни­ма­ние, что целые числа, од­но­чле­ны и мно­го­чле­ны также можно рас­смат­ри­вать как ал­геб­ра­и­че­скую дробь в виде вы­ра­же­ния де­лен­но­го на еди­ни­цу.

 2. Работа с арифметическими дробями

Ал­геб­ра­и­че­ская дробь – это де­ле­ние од­но­го мно­го­чле­на на дру­гой мно­го­член: , P – чис­ли­тель дроби, Q – зна­ме­на­тель дроби; дан­ные мно­го­чле­ны можно пре­об­ра­зо­вы­вать, рас­кла­ды­вать на мно­жи­те­ли лю­бы­ми из­вест­ны­ми нам ме­то­да­ми. Дробь можно со­кра­щать на общие мно­жи­те­ли, то есть упро­щать ис­ход­ную дробь, так же как мы де­ла­ли с ариф­ме­ти­че­ски­ми вы­ра­же­ни­я­ми. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 1:

Чтобы упро­стить дан­ное вы­ра­же­ние, нужно раз­ло­жить чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на про­стые мно­жи­те­ли:

Те­перь можно со­кра­тить на общий мно­жи­тель:

Итак, при ра­бо­те с ариф­ме­ти­че­ски­ми дро­бя­ми для упро­ще­ния вы­ра­же­ния мы и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель раз­ла­га­ли на про­стые мно­жи­те­ли, опи­ра­ясь на ос­нов­ную тео­ре­му ариф­ме­ти­ки о раз­ло­же­нии со­став­ных чисел на про­стые мно­жи­те­ли, после чего со­кра­ща­ли общие мно­жи­те­ли.

 3. Алгебраические дроби при делении одночленов

По ана­ло­гии дей­ствия с ал­геб­ра­и­че­ски­ми дро­бя­ми за­клю­ча­ют­ся в сле­ду­ю­щем: нужно и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, а после этого, если есть воз­мож­ность общие мно­жи­те­ли со­кра­тить. Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 2:

В ре­зуль­та­те де­ле­ния  од­но­чле­нов по­лу­чен новый од­но­член;

При­мер 3:

В ре­зуль­та­те де­ле­ния од­но­чле­нов по­лу­че­на ал­геб­ра­и­че­ская дробь;

 4. Алгебраические дроби при делении многочленов

При­мер 4:

Раз­ло­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на мно­жи­те­ли:

В ре­зуль­та­те де­ле­ния мно­го­чле­нов по­лу­че­на ал­геб­ра­и­че­ская дробь;

При­мер 5:

Рас­кла­ды­ва­ем чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на мно­жи­те­ли ме­то­дом вы­не­се­ния об­ще­го мно­жи­те­ля:

При­ме­ним в зна­ме­на­те­ле фор­му­лу раз­но­сти кубов:

Со­кра­тим общий мно­жи­тель:

В ре­зуль­та­те де­ле­ния мно­го­чле­нов по­лу­че­на ал­геб­ра­и­че­ская дробь;

При­мер 6:

Раз­ло­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на мно­жи­те­ли:

Со­кра­тим общие мно­жи­те­ли:

В ре­зуль­та­те де­ле­ния мно­го­чле­нов по­лу­че­на ал­геб­ра­и­че­ская дробь;

 5. Выводы по уроку

Вывод: в дан­ном уроке мы изу­чи­ли новое по­ня­тие – ал­геб­ра­и­че­ская дробь, и срав­ни­ли ее с уже из­вест­ной нам ариф­ме­ти­че­ской дро­бью. Мы ре­ши­ли много раз­лич­ных при­ме­ров на со­кра­ще­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/algebraicheskie-drobi-sokraschenie-algebraicheskih-drobey?konspekt&chapter_id=921

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=fmNGKJVi1EA

 

Файлы