7 класс. Алгебра. Сокращение алгебраических дробей. Тождества.
7 класс. Алгебра. Сокращение алгебраических дробей. Тождества.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение тождества, сформулируем его отличия от уравнения. Кроме того, мы научимся определять допустимые значения переменных. Мы решим много различных примеров, связанных с тождествами и тождественными преобразованиями.
Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Тождества
1. Формулировка понятия тождества
Рассмотрим примеры.
Пример 1:
;
Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни или
Пример 2:
;
Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ или .
Это означает, что в случае примера 1 только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство.
Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили уравнение , из которого явно видно, что и являются решениями данного уравнения.
Уравнение из примера 2 раскладывалось так: и отсюда тоже явно следует ответ.
Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.
Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:
Пример 3:
;
Подставив в выражение любые значения , мы получим верное числовое равенство.
Пример 4:
;
Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях
Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:
Пример 5:
;
Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных
В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.
Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:
;
какое бы значение не принимал, равенство будет справедливым.
Разделим обе стороны на
Данное выражение будет справедливо при любых , кроме , потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен , и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: , то есть .
Пример 6:
Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех , кроме , так как в этом случае дробь не имеет смысла.
2. Решение простых примеров
Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.
Рассмотрим задачи.
Пример 7 – доказать тождество:
;
Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что .
Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении раскроем скобки:
;
Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом, тождество доказано.
Но его можно доказать и другим способом:
;
Пример 8:
;
Преобразуем левую часть:
;
После преобразований получаем:
;
Тождество доказано.
Заметим, что тождественные преобразования – это те преобразования, при которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.
Пример 9:
;
Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.
Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения общего множителя:
;
Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует ее:
;
Получаем выражение:
;
Тождество доказано.
Пример 10 – доказать, что если , , , то выражения и тождественно равны при любых значениях :
Рассмотри два заданных выражения. В первом стоят с плюсом, а с минусом, во втором наоборот стоит с плюсом, а стоят с минусом, значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком. То есть имеем некоторое выражение :
, , ,
подставим значения A, B и С в заданное выражение:
;
Упростим выражение:
;
Приведем подобные члены:
;
;
Тождество доказано.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/tozhdestva?konspekt&chapter_id=921
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=h-WOLz8Py4U