7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы изучим возведение степени в степень. Вначале вспомним определение степени и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковым основанием. Далее будет сформулирована теорема о возведении степени в степень. Затем мы приведем примеры ее использования на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач и будем решать типичные примеры с помощью всех теорем.
Напоминание основных определений и теорем 1 и 2, формулировка теоремы 3
Напоминание:
Основные определения:
Здесь a – основание степени,
n – показатель степени,
– n-ая степень числа.
Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
На этом уроке будет рассмотрена следующая теорема.
Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:
Разъясняющие задачи к теореме 3
Вывод: частные случаи подтвердили правильность формулы . Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.
Доказательство теоремы 3
По определению степени:
Применим теорему 1:
Итак, мы доказали: , где а – любое число, n и k – любые натуральные числа.
Другими словами, чтобы возвести степень в степень показатели нужно перемножить, а основание оставить неизменным.
Решение примеров на вычисление с помощью теоремы 3
Пример 1: Упростить.
Для решения следующих примеров воспользуемся свойством .
а) 
б)
в) 
Комментарий к примеру 1.
Мы написали, что 
, но в то же время 
, так как 
.
Аналогично, 
.
В качестве основания может быть любое допустимое алгебраическое выражение:
Пример 2:Упростить.
а) 
б) 
Пример 3: Вычислить.
а) 
б) 
в) 
г)
. Комментарий:
д)
. Комментарий:
е)
. Комментарий:
Решение примеров на вычисление с помощью теорем 1, 2, 3
Пример 4: Упростить.
Для решения следующих примеров будем пользоваться теоремами 1, 2, 3.
а) 
б) 
в) 
г)
д)
или быстрее 
е) 
= 
Пример 5: Вычислить:
а)
=
На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.
Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
1. Напоминание основных определений и теорем
Напоминание:
Основные определения:
Здесь a - основание степени,
n - показатель степени,
- n-ая степень числа.
Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями.
2. Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями
Рассмотрим следующие примеры:
Распишем выражения по определению степени.
1) 
2) 
Вывод: из примеров можно заметить, что 
, но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.
3. Формулировка и доказательство теоремы 4
Теорема 4
Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:
Доказательство теоремы 4.
По определению степени:
.
Итак, мы доказали, что .
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
4. Формулировка и доказательство теоремы 5
Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.
Теорема 5
Для любого числа а и b (
) и любого натурального n справедливо равенство:
Доказательство теоремы 5.
Распишем и 
по определению степени:
5. Формулировка теорем словами
Итак, мы доказали, что 
.
Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.
6. Решение типичных задач с помощью теоремы 4
Пример 1: Представить в виде произведения степеней.
Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.
а) 
б)
в) 
Для решения следующего примера вспомним формулы:
г) 
д) 
е) 
ж) 
7. Обобщение теоремы 4
Обобщение теоремы 4:
8. Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4
з) 
и) 
к) 
л) 
9. Продолжение решения типичных задач
Пример 2: Запишите в виде степени произведения.
а) 
б) 
в)
г) 
Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.
а) 
б) 
10. Примеры на вычисление
Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.
а) 
б) 
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/vozvedenie-stepeni-v-stepen-formula-a-sup-n-sup-sup-k-sup-a-sup-nk-sup?konspekt&chapter_id=2
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/umnozhenie-i-delenie-stepeney-s-odinakovymi-pokazatelyami?konspekt&chapter_id=2
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=YgxoKBgwok0