11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Понятие и определение квадратного корня из натурального числа
Мы довольно долго не знали, что такое корень n-ой степени из действительного числа, и умели обходиться без этого понятия, но потом появились случаи, в которых обойтись без него уже невозможно.
Рассмотрим несколько простейших примеров.
Пример 1: 
Решение:
Способ 1, аналитический. Перенесем все члены в левую часть уравнения так, чтобы справа остался 
: 
. Далее разложим на множители: 
.
Каждый множитель приравниваем к нулю:
Получаем ответ:
Способ 2, графический. Построим кривую 
и прямую 
(рис. 1). Получим 
и 
в точках пересечения графиков.
Рис. 1. График уравнений 
и
Ответ. , .
Для решения этой задачи нам не потребовалось никаких новых методов.
Пример 2: 
Решение:
Способ 1. 
. Разложим на множители: 
. Каждый множитель приравниваем к нулю:
Получаем ответ:
Способ 2, графический. Построим график для системы (рис. 2), где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая (
):
Ответами будут точки пересечения графиков, т. е. 
и 
.
Рис. 2. График уравнений 
и
Ответ: , .
После решения двух задач нужды в новом слове не обнаружено.
Пример 3: x2=3
Решение:
Способ 1, аналитический. 
. Пытаемся разложить на множители, но ничего не выходит. Попробуем другой способ.
Способ 2, графический. Построим график для системы (рис. 3), где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая (
):
Рис. 3. График уравнений и
Видим, что графики пересекаются, а значит, ответы все же есть. Назовем их корень квадратный из 3 и минус корень квадратный из 3:
Ответ: 
, 
Определение:
Квадратный корень из трех – это иррациональное число, приближенное к десятичной дроби (
). Так как 
, в дальнейшем будем считать его арифметическим корнем.
Теперь нам нужно определить корень n-ой степени из действительного числа.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 4: 
, где 
, 
Рис. 4. График функций 
и 
Уравнение имеет 2 корня: 
и 
.
2. Понятие и определение корня четной степени из неотрицательного числа
Определение:
Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
Т. е. если , то . Из этого следует тождество 
.
Напомним, что у любой функции, в том числе и у данной, есть 2 задачи: прямая (по данному х найти у) и обратная (по данному у, в данном случае равному а, найти х). Если значение а положительное и n четное, то значение у достигается при двух значениях аргумента – положительном и отрицательном. Положительное значение аргумента называется корнем n-ной степени из а, или арифметическим корнем n-ной степени из а.
Перейдем к нечетным степеням. Начнем с 
.
Рис. 5. График функции , где
Свойства функции 
(рис. 5) отличаются от предыдущих. Напомним, что функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат; она принимает все значения от 
до 
, а значит, любое свое значение у принимает при единственном значении х. Например, 
; 
; 
; 
; 
. По графику функции (рис. 5) находим решения.
Итак, уравнение 
имеет единственный корень. Если этот корень неотрицательный, он называется арифметическим корнем, в противном случае – минус арифметическим корнем.
Если n – любое нечетное число, график функции 
имеет тот же вид и те же свойства, что и 
: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, область значений от 
до , любое значение, в том числе и отрицательное, функция принимает при единственном значении аргумента.
3. Понятие и определение корня нечетной степени из отрицательного числа
Определение:
Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при 
называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а. Например,
т. к. 
; 
т. к. 
; 
т. к. 
Понятие корня n-ой степени из действительного числа позволяет уверенно решать степенные уравнения.
4. Решение примеров
Пример 5: решить уравнение 
;
Решение. 
т. к. степень функции четная (рис. 6)
Ответ. 
.
Рис. 6. График функций 
и 
Пример 6:решить уравнение 
;
Решение. 
т. к. степень функции нечетная (рис. 7);
Ответ. 
.
Рис. 7. Функции 
и 
5. Доказательство иррациональности числа 
В заключение повторим доказательство того, что 
– иррациональное число. Используем метод от противного. Предположим, что 
, где 
– несократимая дробь (такая как 
или 
). Тогда 
. Обе части выражения – неотрицательные числа. Возведем их в квадрат: 
. Правая часть уравнения делится на 2, а значит, и левая часть уравнения (т. е.m) тоже обязательно должна делиться на 2, a 
– на 4. Тогда 
тоже делится на 4, а n – на 2. Из этого следует, что дробь не является несократимой, ее числитель и знаменатель делятся на 2. А это противоречит нашему предположению. Следовательно, – иррациональное число.
На данном уроке мы узнали, что такое корень n-ной степени из действительного числа, и научились использовать его на практике.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/ponyatie-kornya-n-oy-stepeni-iz-deystvitelnogo-chisla?seconds=0&chapter_id=53
http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-koren-n-stepeni.pptx
https://sites.google.com/site/matematika1167/algebra-i-nacala-analiza/stepeni-i-korni/ponatie-korna-n-oj-stepeni-iz-dejstvitelnogo-cisla
https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2