11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

Все о корне n-й степени.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Все о корне n-й степени.

Комментарии преподавателя

1. Определения корня n-й степени для четного и нечетного n

Напомним и прокомментируем основные определения.

Определение:

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

, где ,

Рис. 1. График функций и

Уравнение имеет 2 корня: и .

Данная функция, как и любая другая, преследует две задачи. Прямая задача: по заданному значению х, подставив его в функцию, найти значение у. Обратная задача: по заданному значению у (у только неотрицательное) определить значение х, при этом получаем два корня, один из которых неотрицательный и носит название арифметического корня.

Напомним важное тождество:

Рассмотрим примеры:

1. , т. к. ; 2.

Мы рассмотрели корень четной степени из действительного числа, и в этом случае подкоренное число а обязано быть неотрицательным. Но оно может быть отрицательным в том случае, если степень корня нечетная.

Определение:

Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Рис. 2. График функции , где

Данная функция имеет единственное решение, то есть достигает любого своего значения при единственном значении аргумента, причем если значение функции отрицательное, то и соответствующее ему значение аргумента тоже отрицательное, и наоборот, положительному значению функции соответствует положительное значение аргумента.

Рассмотрим примеры:

, т. к. ; 2. , т. к. ;

2. Следствия из определений

Рассмотрим важные следствия из определений.

Следствие 1:

Корень четной степени неотрицателен и существует только от неотрицательного числа.

Примеры:

, т. к. ; 2. не существует, т. к. ; 3. , нет решений, т. к. поскольку существует выражение , то оно неотрицательное; 4. , т. к. ;

Следствие 2:

Корень нечетной степени существует для любого действительного числа а .

Примеры:

, т. к. ; 2. , т. к. ; 3. , т. к. ;

3. Определение иррационального уравнения, простейшие примеры

Рассмотренные определения и следствия применяются при решении различных задач, в том числе иррациональных уравнений.

Определение:

Уравнение, в котором под знаком корня содержится неизвестное, называется иррациональным.

Примеры:

1. , , ; ответ: ;

2. ; ответ: ;

3.

ответ:

4. ; ответ:

Рассмотрим более сложные выражения, а именно уравнения вида . Чтобы решать подобные уравнения, нужно обе части возводить в квадрат, но для этого нужно выполнение некоторых условий и соблюдение ограничений. Значение квадратного корня должно быть неотрицательным, отсюда . Подкоренное выражение также должно быть неотрицательно, т. е. . После преобразования получаем

Исходя из последнего равенства выражение в эквивалентной системе излишне, таким образом, получаем эквивалентную для уравнения систему:

Получили смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенства. В подобных случаях решать неравенство необязательно, достаточно решить уравнение и его корни проверить по первому условию (неравенству).

Пример:

Решим первым способом, то есть с помощью эквивалентной системы:

Преобразуем уравнение:

Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:

Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ .

Решим вторым способом, возведем обе части в квадрат, не накладывая никаких дополнительных условий:

Получили квадратное уравнение:

Корни данного уравнения мы уже определили:

Выполним проверку, подставив каждый корень в исходное уравнение:

Квадратный корень не может иметь отрицательное значение, значит, корень не подходит, не является решением заданного уравнения.

Получили ответ:

Выполним небольшой анализ, чтобы в дальнейшем предостеречься от типовых ошибок.

а) , т. е. из равенства квадратов чисел еще не следует равенство самих чисел;

б) , т. е. из равенства квадратов не всегда следует равенство исходных чисел;

Вывод: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.

4. Решение более сложных иррациональных уравнений

Пример:

Решаем первым способом:

Преобразуем уравнение:

Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:

Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ .

Рассмотрим пример уравнения на корень нечетной степени:

Возводим обе части в куб:

Разложим выражение на множители:

7x(х2 - 1) = 7х(х - 1)(х + 1) = 0

Приравняв каждый множитель к нулю, получаем корни заданного уравнения: , ,

Итак, на данном уроке мы повторили определения для корня n-ой степени из действительного числа, решили некоторые задачи и уравнения. На следующем уроке мы ознакомимся с функциями .

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Terver.ru (Источник).
Uztest.ru (Источник).
Schoolife.ru (Источник).

Домашнее задание

1) Определите знак разности:

а) ; б) ; в) ; г)

2) Найдите ошибку в рассуждениях:

а) ; б)

3) Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г)

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/korni-n-y-stepeni-iz-deystvitelnogo-chisla-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY

http://www.youtube.com/watch?v=rftndVctTu8

http://www.youtube.com/watch?v=XCHZyO1kKp4

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/02/03/dm_01_koren_n-y_stepeni_iz_deystvitelnogo_chisla.pps

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2