11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Определения корня n-й степени для четного и нечетного n
Напомним и прокомментируем основные определения.
Определение:
Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
, где 
, 
Рис. 1. График функций 
и 
Уравнение имеет 2 корня: 
и 
.
Данная функция, как и любая другая, преследует две задачи. Прямая задача: по заданному значению х, подставив его в функцию, найти значение у. Обратная задача: по заданному значению у (у только неотрицательное) определить значение х, при этом получаем два корня, один из которых неотрицательный и носит название арифметического корня.
Напомним важное тождество: 
Рассмотрим примеры:
1. 
, т. к. 
; 2. 
Мы рассмотрели корень четной степени из действительного числа, и в этом случае подкоренное число а обязано быть неотрицательным. Но оно может быть отрицательным в том случае, если степень корня нечетная.
Определение:
Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при 
называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
Рис. 2. График функции , где 
Данная функция имеет единственное решение, то есть достигает любого своего значения при единственном значении аргумента, причем если значение функции отрицательное, то и соответствующее ему значение аргумента тоже отрицательное, и наоборот, положительному значению функции соответствует положительное значение аргумента.
Рассмотрим примеры:
, т. к. 
; 2. 
, т. к. 
;
2. Следствия из определений
Рассмотрим важные следствия из определений.
Следствие 1:
Корень четной степени неотрицателен и существует только от неотрицательного числа.
Примеры:
, т. к. 
; 2. 
не существует, т. к. 
; 3. 
, нет решений, т. к. поскольку существует выражение 
, то оно неотрицательное; 4. 
, т. к. 
;
Следствие 2:
Корень нечетной степени существует для любого действительного числа а 
.
Примеры:
, т. к. 
; 2. 
, т. к. 
; 3. 
, т. к. 
;
3. Определение иррационального уравнения, простейшие примеры
Рассмотренные определения и следствия применяются при решении различных задач, в том числе иррациональных уравнений.
Определение:
Уравнение, в котором под знаком корня содержится неизвестное, называется иррациональным.
Примеры:
1. 
, 
, 
; ответ: 
;
2. 
; ответ: 
;
3. 
ответ: 
4. 
; ответ: 
Рассмотрим более сложные выражения, а именно уравнения вида 
. Чтобы решать подобные уравнения, нужно обе части возводить в квадрат, но для этого нужно выполнение некоторых условий и соблюдение ограничений. Значение квадратного корня должно быть неотрицательным, отсюда 
. Подкоренное выражение также должно быть неотрицательно, т. е. 
. После преобразования получаем 
Исходя из последнего равенства выражение в эквивалентной системе излишне, таким образом, получаем эквивалентную для уравнения систему:
Получили смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенства. В подобных случаях решать неравенство необязательно, достаточно решить уравнение и его корни проверить по первому условию (неравенству).
Пример:
Решим первым способом, то есть с помощью эквивалентной системы:
Преобразуем уравнение:
Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:
Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ 
.
Решим вторым способом, возведем обе части в квадрат, не накладывая никаких дополнительных условий:
Получили квадратное уравнение:
Корни данного уравнения мы уже определили:
Выполним проверку, подставив каждый корень в исходное уравнение:
Квадратный корень не может иметь отрицательное значение, значит, корень 
не подходит, не является решением заданного уравнения.
Получили ответ:
Выполним небольшой анализ, чтобы в дальнейшем предостеречься от типовых ошибок.
а) 
, т. е. из равенства квадратов чисел еще не следует равенство самих чисел;
б) 
, т. е. из равенства квадратов не всегда следует равенство исходных чисел;
Вывод: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.
4. Решение более сложных иррациональных уравнений
Пример:
Решаем первым способом:
Преобразуем уравнение:
Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:
Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ 
.
Рассмотрим пример уравнения на корень нечетной степени:
Возводим обе части в куб:
Разложим выражение на множители:
7x(х2 - 1) = 7х(х - 1)(х + 1) = 0
Приравняв каждый множитель к нулю, получаем корни заданного уравнения: 
, 
, 
Итак, на данном уроке мы повторили определения для корня n-ой степени из действительного числа, решили некоторые задачи и уравнения. На следующем уроке мы ознакомимся с функциями 
.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Terver.ru (Источник).
- Uztest.ru (Источник).
- Schoolife.ru (Источник).
Домашнее задание
1) Определите знак разности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
2) Найдите ошибку в рассуждениях:
а) 
; б) 
3) Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/korni-n-y-stepeni-iz-deystvitelnogo-chisla-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY
http://www.youtube.com/watch?v=rftndVctTu8
http://www.youtube.com/watch?v=XCHZyO1kKp4
http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/02/03/dm_01_koren_n-y_stepeni_iz_deystvitelnogo_chisla.pps
https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2