11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Определение корня n-й степени, существование функций вида 
Напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
Например: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
Из определения следует важный вывод:
На множестве значений 
существует функция 
при 
, т. е. при любом натуральном n, не равном единице.
Вспомним, что называется функцией.
2. Функция у=х, теорема о симметрии графиков функций
Определение:
Функцией называется закон соответствия, по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие единственное значение функции у.
Рассмотрим исследуемую функцию при 
: 
Рис. 1. График функции
Очевидно, что представленный график (Рис. 1.) проходит через точки (1;1), (4;2), (9;3) и т. д.
Чтобы избавиться от корня, возведем функцию в квадрат, наложив условие на у:
Рассмотрим две функции. Первая – при 
, график ее – это часть параболы. Вторая функция – 
при , это также часть параболы. Данные ветви парабол симметричны относительно прямой 
. графики имеют две общие точки: (0;0) и (1;1). На ветви параболы лежат точки с координатами 
, на ветви параболы – точки с координатами 
. Эти точки симметричны относительно прямой . Рис. 2.
Рис. 2. Графики функций , и
Теорема:
Точки А(а;b) и В(b,a) симметричны относительно прямой .
Доказательство:
Рассмотрим чертеж (рисунок 3). Координаты точки А означают, что прямоугольный треугольник 
имеет катеты а и b. Аналогично треугольник 
имеет те же самые катеты. Таким образом, рассмотренные треугольники равны, и из их равенства следует равенство углов 1 и 2 и равенство гипотенуз ОА и ОВ. Напомним, что прямая является биссектрисой, отсюда углы 
и 
составляют по 
, таким образом, углы 3 и 4 равны (т. к. равны углы 1 и 2). Отсюда ОН – биссектриса в равнобедренном треугольнике 
. Биссектриса, как известно, является осью симметрии для всего треугольника, в том числе и для интересующих нас точек А и В.
Рис. 3. Чертеж к теореме
Доказанная теорема позволяет сделать вывод для любого n:
График функции при симметричен графику функции 
при относительно прямой .
Рис. 4. Обобщение теоремы
3. Свойства функции при четных n
Вернемся к функции 
. Прочтем ее график и перечислим основные свойства.
1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, то функция также возрастает от нуля до бесконечности и проходит через точки (0;0), (1;1) при любом n;
2. Область определения: 
;
3. Функция общего вида (не является четной либо нечетной);
4. Функция возрастает на луче 
;
5. Не ограничена сверху, но ограничена снизу;
6. Не имеет наибольшего значения, но имеет наименьшее значение 
;
7. Непрерывна;
8. Область значений: 
;
9. Выпукла вверх на луче . Это означает, что мы можем взять произвольные точки А и В на графике, соединить их отрезком и содержащийся между этими точками кусок графика будет находиться над отрезком;
10. Функция имеет производную при любом х большем нуля; при 
функция не имеет производной, касательной в этой точке является ось у.
4. График и свойства функции
Рассмотрим функцию 
Рис. 5. График функции
Докажем, что данная функция нечетная:
Итак, функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
График функции проходит через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)
Функция касается оси у.
Аналогичными свойствами и особенностями обладают функции 
при любом нечетном n.
5. Решение примеров
Пример 1: построить схематически график функции 
Построение:
1. Строим график функции 
, он проходит через точки (0;0) и (1;1);
2. Сдвигаем полученную кривую на две единицы вправо, график проходит через точки (2;0), (3;1);
Рис. 6. График функции, пример 1
Пример 2: построить схематически график функции 
Построение:
1. Построим график функции 
, он проходит через точки (0;0), (1;1), (-1;-1);
2. Сдвинем полученную кривую на одну единицу влево, новый график проходит через точки (-1;0), (0;1), (-2;-1)
Рис. 7. График функции, пример 2
Изучаемые функции имеют много общих свойств, но каждая из них единственна и неповторима. Для примера рассмотрим взаимное расположение двух кривых: 
. Рис. 2.
Пока х изменяется от нуля до единицы, кривая 
находится над кривой 
, в точке (1;1) кривые пересекаются и далее меняют свое расположение, когда х меняется от единицы до плюс бесконечности, кривая находится над кривой .
Описанное расположение можно описать так:
Пример 1:
но
Пример 2:
но
Рис. 2. Взаимное расположение графиков функций
6. Функция y=ⁿ√x при нечетных n, свойства в общем и частных случаях
Перейдем к функциям 
для нечетного n, т. е. функциям 
и т. д., причем в данном случае 
и 
. Рис. 3.
Рис. 3. График функции для нечетного n,
Если аргумент меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, функция возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Основные свойства рассматриваемых функций:
1. Область определения: 
;
2. Область значений: 
;
3. Графики функций проходят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)
4. Функции нечетные, графики симметричны относительно начала координат;
5. Функции возрастают от минус до плюс бесконечности.
Рассмотрим взаимное расположение двух кривых: 
. Рис. 4.
Рис. 4. Взаимное расположение графиков функций
На участке 
кривая 
находится выше кривой 
, однако когда 
кривые располагаются наоборот, расположена выше :
7. Решение типовых задач
Пример 3 – решить неравенство:
Чтобы найти решение неравенства, нужно узнать знак числа, стоящего в скобках. Поскольку значение синуса любого угла меньше единицы, разность в скобках будет иметь знак минус. Исходя из этого, получаем решение неравенства: 
.
Рассмотрим одну из типовых задач для функции для четного n.
Пример 4: найдите область значений функции 
на интервале 
.
Решение основывается на свойстве данной функции, а именно ее монотонном возрастании. Найдем значения в границах интервала:
Таким образом, получаем ответ: 
.
Аналогичная задача существует для функции при нечетном n.
Пример 5: найдите область значений функции на интервале 
Данная функция также имеет свойство монотонно возрастать при возрастании аргумента.
Аналогично предыдущему примеру найдем значения функции в граничных точках и получим ответ.
Таким образом, получаем ответ: 
.
Подобные задачи допускают различные формулировки, рассмотрим одну из них.
Пример 6: найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 
.
Ответ очевиден: наименьшего значения функция достигает при наименьшем значении аргумента, т. е. 
, наибольшее значение соответствует наибольшему значению х, но наш интервал заканчивается круглой скобкой, поэтому наибольшего х, а значит, и наибольшего у, не существует.
Пример 7: решить уравнение графически.
Разбиваем заданное уравнение на две функции:
Свойства данных функций нам известны, первая монотонно возрастает и обязательно проходит через три известные нам точки, вторая монотонно убывает, поэтому если данная система имеет решение, то оно единственное.
Построим заданные функции:
Рис. 5. Графики функций и 
Очевидно, что решением системы является точка с координатами (1;1). Выполним проверку:
Таким образом, получили корень уравнения: 
.
Пример 8: найдите область определения функции.
Мы помним, что под корнем четной степени должно стоять только положительное выражение, в то время как на корень нечетной степени никаких ограничений не накладывается. Получаем неравенство:
Умножим неравенство на минус единицу, получим:
Получили неравенство в стандартном виде, выпишем и поясним его решения:
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства
Таким образом, получили ответ: 
.
Пример 9: найти наибольшее значение функции.
Помним, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное число:
Рис. 7. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства
Определим, в каких пределах изменяется подкоренное выражение 
. Несложно найти, что оно принадлежит интервалу [0;1].
Рассмотрим функцию 
. Данная функция монотонно возрастает, поэтому своего максимума достигнет при максимальном значении х, т. е. получаем:
.
Пример 10: построить график и найти область значений функции.
Рис. 8. Графики функций, пример 10
Первая функция 
при 
убывает от двух до нуля. Вторая функция 
при 
возрастает от нуля до единицы.
Итак, если аргумент меняется в заданных пределах 
, функция принимает значения на интервале от нуля до двух, таким образом, получаем ответ: область значений функции 
.
Свойства функции лежат в основе решения различных задач с параметром, рассмотрим одну из них.
Пример 11: найти число корней уравнения с параметром.
Причем
Напомним, что решение задачи с параметром подразумевает перебрать все возможные значения параметра и для каждого из них указать ответ.
Для решения подобных задач можно применять следующий алгоритм:
1. Построить график функций;
График уже был построен в предыдущем примере, см. рисунок 8.
2. Рассечь график семейством прямых 
, найти точки пересечения и выписать ответ;
Выполним рассечение:
Рис. 9. Рассечение графика прямыми вида
Исходя из рисунка 9, выпишем ответ:
Уравнение не имеет корней при: 
Уравнение имеет единственный корень при: 
.
Уравнение имеет два корня при: 
.Итак, мы повторили свойства функций для всех значений n, построили графики и исследовали их. Кроме того, мы научились решать разнообразные типовые задачи, пользуясь свойствами изучаемых функций.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsii-y-8730-x-sup-n-sup-ih-svoystva-i-grafiki
http://www.youtube.com/watch?v=elSLtNLCF64
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsii-y-8730-x-sup-n-sup-ih-svoystva-i-grafiki-zadachi
http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/332-samostoyatelnaya-rabota-po-teme-funktsii-ikh-svojstva-i-grafiki-11-klass.html
https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2