8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения.
8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения.
Комментарии преподавателя
На занятии будет введено понятие квадратного уравнения, рассмотрены его два вида: полное и неполное. Отдельное внимание на уроке будет уделено разновидностям неполных квадратных уравнений, во второй половине занятия будет рассмотрено множество примеров.
Тема: Квадратные уравнения.
Урок: Квадратные уравнения. Основные понятия
1. Определение квадратного уравнения
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида
.
фиксированные действительные числа, которые задают квадратное уравнение. Эти числа имеют определенные названия:
старший коэффициент (множитель при 
);
второй коэффициент (множитель при 
);
свободный член (число без множителя-переменной).
Замечание. Следует понимать, что указанная последовательность записи слагаемых в квадратном уравнении является стандартной, но не обязательной, и в случае их перестановки необходимо уметь определять численные коэффициенты не по их порядковому расположению, а по принадлежности к переменным.
Определение. Выражение 
носит название квадратный трехчлен.
Пример 1. Задано квадратное уравнение 
. Его коэффициенты:
старший коэффициент;
второй коэффициент (обратите внимание, что коэффициент указывается со знаком передним);
свободный член.
2. Приведенные квадратные уравнения
Определение. Если 
, то квадратное уравнение называется неприведенным, а если 
, то квадратное уравнение называется приведенным.
Пример 2. Привести квадратное уравнение . Разделим обе его части на 2: 
.
Замечание. Как видно из предыдущего примера, делением на старший коэффициент мы не изменили уравнение, но изменили его форму (сделали приведенным), аналогично его можно было и умножить на какое-нибудь ненулевое число. Таким образом, квадратное уравнение задается не единственной тройкой чисел, а говорят, что задается с точностью до ненулевого множества коэффициентов.
Определение. Приведенное квадратное уравнение получаю из неприведенного путем деления на старший коэффициент 
, и оно имеет вид:
.
Приняты следующие обозначения: 
. Тогда приведенное квадратное уравнение имеет вид:
.
Замечание. В приведенной форме квадратного уравнения видно, что квадратное уравнение можно задать всего двумя числами: 
.
Пример 2 (продолжение). Укажем коэффициенты, которые задают приведенное квадратное уравнение . 
, 
. Эти коэффициенты также указываются с учетом знака. Эти же два числа задают и соответствующее неприведенное квадратное уравнение .
Замечание. Соответствующие неприведенное и приведенное квадратные уравнения являются одинаковыми, т.е. имеют одинаковые наборы корней.
3. Неполные квадратные уравнения
Определение. Некоторые из коэффициентов 
в неприведенной форме или 
в приведенной форме квадратного уравнения могут равняться нулю. В таком случае квадратное уравнение называют неполным. Если же все коэффициенты ненулевые, то квадратное уравнение называют полным.
Существует несколько видов неполного квадратного уравнения.
1) 
.
Если решение полного квадратного уравнения мы пока не рассматривали, то решить неполное мы легко сможем уже известными нам методами.
Определение. Решить квадратное уравнение – значит найти все значения переменной (корни уравнения), при которых данное уравнение обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.
Пример 3. Рассмотрим пример указанного вида неполных квадратных уравнений. Решить уравнение 
.
Решение. Вынесем общий множитель 
. Уравнения такого типа мы умеем решать по следующему принципу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом значении переменной существует. Таким образом:
или 
.
Ответ.
; 
.
2) 
.
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение. 1 способ. Разложим на множители по формуле разности квадратов
, следовательно, аналогично предыдущему примеру 
или 
.
2 способ. Перенесем свободный член вправо 
и извлечем квадратный корень из обеих частей 
.
Ответ. 
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. Перенесем свободный член вправо 
, но 
, т.е. в уравнении неотрицательное число приравнивается к отрицательному, что не имеет смысла ни при каких значениях переменной, следовательно, корней нет.
Ответ. Корней нет.
3) 
.
Пример 6.Решить уравнение 
.
Решение. Разделим обе части уравнения на 7: 
.
Ответ. 0.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/kvadratnye-uravneniya-osnovnye-ponyatiya?konspekt&chapter_id=16
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=VqzYbWrE4e4
Файлы
Нет дополнительных материалов для этого занятия.