8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения.
8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения.
Комментарии преподавателя
Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители
Познакомимся с теоремой Виета, с соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, научимся раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 +bx + c = 0, где a, b, c-коэффициенты, х – переменная, причём a ≠ 0. Левая часть квадратного уравнения
ax2 + bx +c – это многочлен второй степени, его называютквадратным трехчленом. Если в квадратном уравнении коэффициент при х2 или, можно сказать, старший коэффициент a равен 1, то такое квадратное уравнение называют приведенным.
Впервые зависимость в виде соотношений между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами обнаружил французский математик Франсуа Виет.
Теорема Виета справедлива и для квадратных уравнений, имеющих один корень. В этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня.
Теорему Виета удобно применять для приведенного квадратного уравнения:
Приведенное квадратное уравнение можно записать в виде:
Тогда сумма корней х1 +х2 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, то есть – р, а произведение корней х1∙ х2 равно свободному члену q.
х1 +х2 = – р
х1∙ х2 = q
По теореме Виета можно подбором найти корни уравнения.
Например, решим квадратное уравнение х2 – х – 12 = 0.
Уравнение является приведенным, так как коэффициент a равен 1. Тогда сумма корней х1 + х2 = 1, а произведение х1 ∙ х2= –12. Если х1 и х2 целые числа, то они являются делителями числа –12. Нетрудно догадаться, что х1 = –3; х2 = 4.
По теореме обратной теореме Виета можно выполнить проверку правильности нахождения корней квадратного уравнения.
Обратное утверждение теоремы Виета:
Если х1 и х2 – корни квадратного уравнениятакие, чтох1 + х2 = –р, х1 ∙ х2 = q, то эти числа0 – корни уравнения х2 + рх + q = 0.
Решим уравнение 3х2 – 4х – 4 = 0.
Дискриминант D = (-4)2 -4 ∙ 3 ∙ (-4) = 64, D > 0.
Найдем корни:
Значит, квадратный трехчленможно разложить на множители ax2 + bx + c = a(х– х1) (х –х2),где х1и х2 – корни квадратного трехчлена, которые можно найти, решая квадратное уравнение ax2 + bx +c = 0.
Если х1 = х2 , т.е. дискриминант квадратного трехчлена равен нулю (D = 0), то доказанная формула будет иметь вид ax2 + bx + c = a(х– х1)2.
Разложим на множители квадратный трехчлен 3х2 – 10х + 3.
Для этого решим квадратное уравнение 3х2 – 10х + 3 = 0.
Дискриминант D = = (-10)2 – 4 ∙ 3 ∙ 3 = 64, D > 0.
Тогда сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком х1 +х2 = –р, а произведение корней равно свободному члену х1∙ х2 = q. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет.
По теореме Виета можно подбором найти корни уравнения.
Если свободный член q – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. По теореме, обратной теореме Виета, можно проверить правильность нахождения корней.
С помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трёхчлена на множители a x2 + bx +c= a(х - х1) (х -х2), где х1; х2 – корни квадратного трехчлена.
Источник конспекта: http://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Teorema-Vieta.-Razlozhenie-kvadratnogo-tryokhchlena-na-mnozhiteli
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=bO7s5qOo7zk
Файлы
Нет дополнительных материалов для этого занятия.