8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения.
8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы научимся решать рациональные уравнения. Разберем несколько примеров, а также сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений.
Рациональные выражения и рациональные уравнения
Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.
Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.
Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: 
, где 
– рациональные выражения.
Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.
Пример решения рационального уравнения
Пример 1
Решить уравнение: 
.
Решение:
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получаем следующую систему:
Первое уравнение системы – это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:
Коэффициенты данного уравнения: 
. Вычисляем дискриминант: 
Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:
Получаем два корня: 
; 
.
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.
Ответ: 
.
Алгоритм решения рационального уравнения
Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:
1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.
2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.
3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: 
.
4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.
Пример решения рационального уравнения
Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решить уравнение: 
.
Решение
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.
Коэффициенты данного уравнения: 
. Вычисляем дискриминант: 
Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:
Получаем два корня: 
; 
.
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.
Ответ:
.
На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.
На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/algoritm-resheniya-ratsionalnyh-uravneniy?konspekt&chapter_id=16
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=hQWlWH1AYGM