11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
Комментарии преподавателя
Степень с рациональным показателем, определение, свойства, пример задачи
Напомним основное определение.
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .
Для выполняется равенство:
Например: ; ; не существует по определению; ; .
Напомним свойства степени с рациональным показателем:
Здесь , , s и r – рациональные числа;
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
Переходим к решению типовых задач.
Пример 1 – упростить выражение:
Разложим числитель на множители:
.
Чтобы сократить полученную дробь, укажем ограничение:
.
Кроме того, укажем ОДЗ по определению степени с рациональным положительным показателем: .
Получаем:
Степенная функция, теоретические положения
Рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем, конкретно нас интересуют случаи с нецелым показателем, т. к. функции с целым показателем мы уже изучили ранее.
:
1.
2.
Например: , по определению .
Сравним графики функций и (Рис. 1).
Рис. 1. Графики функций и (слева и справа соответственно)
Область определения функции - , график известен, он проходит через три фиксированные точки.
Для второй функции область определения –
Различие функций наглядно показано на рисунке 1.
Производная и первообразная степенной функции
Для каждой функции нужно уметь находить производные, первообразные и решать типовые задачи на них. Мы рассмотрим, как находить производную и первообразную для степенной функции.
Производная степенной функции:
, ,
.
Рассмотрим сложную функцию, когда в рациональную степень возводится не просто х, а некоторая функция :
.
Неопределенный интеграл:
Решение типовых задач
Типовыми являются задачи на область значений функции.
Пример 2 – найти область значений функции:
а)
Функция возрастает согласно рассмотренным ранее свойствам, достаточно вычислить значение функции в концах отрезка:
Ответ: область значений функции на заданном интервале .
б)
Функция возрастает, т. к. является суммой двух возрастающих функций, достаточно вычислить значение функции в концах отрезка:
.
Ответ: область значений функции на заданном интервале .
Пример 3 – найти наибольшее значение функции:
Решение:
Исследуем без применения производной.
Используем элементы метода интервалов. Найдем ОДЗ: . Найдем корни функции, для этого разложим выражение в правой части на множители и приравняем его к нулю:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует, получаем:
.
Итак, область определения функции разбита на два интервала: [0; ] и () (рис. 2).
Рис. 2. Функция
Несложно заметить, что на первом интервале функция положительна, а на втором отрицательна.
Итак, исследование графика без производной дает нам следующие факты: примерный график функции, интервалы ее разбиения на положительную и отрицательную часть. Если функция положительна, график находится над осью х, если отрицательна – под осью.
Очевидно, что наибольшего своего значения функция достигает на первом интервале.
Возьмем производную:
.
Приравняем производную к нулю:
.
– точка максимума, т. к. это единственная критическая точка. До этой точки производная – величина положительная, функция возрастает, далее производная меняет знак, функция убывает.
Пример 4 – найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Данная задача решается с помощью первообразной (рис. 3).
Рис. 3. График функции на заданном интервале
Пример 5 – решить уравнение :
.
Находим производную:
.
Приравняем производную к нулю:
.
Введем замену:
.
Получаем квадратное уравнение:
.
Находим корни любым способом, например по теореме Виета:
.
Второй корень не удовлетворяет условиям, остается единственный ответ:
.
Имеем:
.
Итак, мы повторили теорию и рассмотрели различные типовые задачи на степенные функции с рациональным показателем.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/zadachi-na-stepennye-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem
http://www.youtube.com/watch?v=6XZA9p2iCzg
http://www.youtube.com/watch?v=V2Vk6DqELpk
http://www.youtube.com/watch?v=Jwz6rdS-RV4
http://www.studfiles.ru/preview/1839199/
http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3