11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.
Комментарии преподавателя
1. Определение показательной функции, свойства, графики
Рассмотрим основное определение.
Определение:
Функцию вида 
, где 
и 
называют показательной функцией.
Например: 
и т. д.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: 
:
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Основные свойства данного семейства функций:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы 
:
Например: 
и т. д.
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Свойства данного семейства функций:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
2. Решение элементарных показательных уравнений и неравенств
Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции.
Пример 1 – решить уравнение:
а) 
Ответ: 
, т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
б) 
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
Пример 2 – решить неравенство:
а) 
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
б) 
Ответ: 
, т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2.б
3. Простейшие показательные уравнения в общем виде, конкретные примеры
Рассмотрим простейшие уравнения и неравенства.
Пример 3:
а) 
(рисунок 4)
б) 
, т. к. функция монотонно возрастает на всей области определения (рисунок 4)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3
Рассмотрим простейшие показательные уравнения в общем виде.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.
Таким образом, получаем методику решения показательных уравнений:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней;
Например:
Пример 4 – решить уравнения:
а) 
б) 
4. Показательная функция с основанием, большим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, большим единицы.
:
х – аргумент, независимая переменная; у – функция, зависимая переменная.
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
График функции – экспонента (рис. 1).
Основные свойства данного семейства функций:
1. Область определения: 
.
2. Область значений: 
.
3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Монотонное возрастание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени 
больше единицы.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства.
5. Показательная функция с основанием, меньшим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля (рис. 2).
:
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы.
Свойства данного семейства функций:
1. Область определения: .
2. Область значений: .
3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
Монотонное убывание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени меньше единицы, но больше нуля.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства.
6. Решение конкретных примеров
Закрепим приведенную методику решением конкретных неравенств.
Пример 1:
а)
б) 
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.б
График функции 
и прямая 
пересекаются в точке с координатами (4; 81). То есть 
при 
. По условию нам нужно определить, когда 
, это выполняется тогда и только тогда, когда 
.
Пример 2:
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2
График функции 
и прямая 
пересекаются в точке с координатами (5; 
). То есть 
при 
. По условию нам нужно определить, когда 
, это выполняется тогда и только тогда, когда 
.
Пример 3:
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3
График функции 
и прямая 
пересекаются в точке с координатами (-1;3). То есть 
при 
. По условию нам нужно определить, когда 
. Это выполняется тогда и только тогда, когда 
.
Пример 4:
Итак, мы рассмотрели показательную функцию, ее график и свойства, научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства, рассмотрели простейшие показательные уравнения в общем виде.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-prosteyshie-pokazatelnye-uravneniya
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-i-prosteyshie-pokazatelnye-neravenstva
http://www.youtube.com/watch?v=64VcODvVuhs
http://www.youtube.com/watch?v=JbkKC610l88
http://www.youtube.com/watch?v=dy717_SCA1o
http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/5342/0aaaa78c1b4ec923172aab8b0bbbba11.ppt
http://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-3-1-pokazatelynaya-funktsiya-ee-svoystva-i-grafik.html
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-pokazatelnaya-funktsiya.pdf
http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/pokazatelnaya/