11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.
Комментарии преподавателя
1. Определение и свойства показательной функции
Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.
Показательная функция – это функция вида 
, где основание степени 
и 
Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.
Обе кривые проходят через точку (0;1)
Свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонна, при 
возрастает, при 
убывает.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (
). При 
наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию (
).
2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример
На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:
Методика решения неравенств:
Уравнять основания степеней;
Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.
Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.
Пример 1:
Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:
Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:
Пример 2:
Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:
Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:
Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:
По теореме Виета находим корни:
Ветви параболы направлены вверх.
Таким образом, имеем решение неравенства:
Пример 3:
Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:
Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:
Напомним методику решения таких неравенств.
Рассматриваем дробно-рациональную функцию:
Находим область определения:
Находим корни функции:
Функция имеет единственный корень, 
Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:
Рис. 2. Интервалы знакопостоянства
Таким образом, получили ответ.
Ответ: 
3. Решение типовых показательных неравенств
Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.
Пример 4:
Одно из свойств показательной функции – она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:
Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.
Ответ: 
Проиллюстрируем решение:
На рисунке 6.3 изображены графики функций 
и 
. Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента 
функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4
Пример 5:
Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:
Приведем подобные члены:
Разделим обе части на 
:
Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на 
:
Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:
Ответ: 
4. Графическое решение показательных неравенств
Пример 6 – решить неравенство графически:
Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.
Функция 
– экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.
Функция 
– линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.
Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа (
)
Несложно заметить, что корнем данной системы является 
:
Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.
Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: 
(рисунок 6.4)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6
Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств.
Часть вторая. 1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений
Решение более сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к более простым, или, как говорят, простейшим показательным неравенствам. Простейшие показательные неравенства решаются, в свою очередь, на основе свойств показательной функции.
Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.
Показательная функция – это функция вида 
, где основание степени 
и 
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании, большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля соответственно.
Свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонна, при 
возрастает (большему значению аргумента соответствует большее значение функции, 
), при 
убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, 
); 
– любые числа.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При , наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.
2. Решение типовых неравенств
Методика решения подобных неравенств:
Уравнять основания степеней;
Сравнить показатели, сохранив или изменив знак неравенства.
Пример 1:
Преобразуем неравенство, пользуясь свойствами степени:
Введем замену. Пусть 
, тогда 
Получаем:
Умножим на два:
Переносим все в левую сторону:
Имеем систему:
Получим квадратное уравнение и найдем его корни:
Решим методом интервалов.
Рис. 2. Метод интервалов
Вернемся к исходным обозначениям:
Ответ: 
Пример 2:
Пользуясь свойствами степени, получаем:
Введем замену. Пусть 
, тогда 
. Получаем:
Для квадратного уравнения 
любым способом получаем корни, 
Решаем методом интервалов:
Рис. 3. Метод интервалов
Вернемся к исходным обозначениям:
Ответ: 
Рассмотрим новый вид неравенств.
3. Методика решения однородных показательных неравенств второй степени
Мы рассматривали случай, когда левая часть заданного выражения равна нулю, и изучили методику решения таких уравнений. Теперь нас интересуют неравенства. Укажем некоторое ограничение: 
.
Метод решения такого вида неравенств базируется на свойствах выражения, стоящего в левой его части. Данное выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.
Метод решения таков: нужно рассмотреть два случая:
, подставить данное выражение в исходное неравенство, получаем 
, 
и решаем полученное простое неравенство.
, имеем право все неравенство разделить на положительное выражение 
. Получим 
. Далее вводим замену переменных 
и переходим к квадратному неравенству.
Пример 3:
Перенесем все члены в левую сторону:
В данном случае несложно выделить функции f и g.
Согласно свойствам степени имеем:
Поскольку показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, имеем право сразу выполнить деление:
Получаем:
Вводим замену:
Имеем квадратное неравенство:
Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения 
, решение неравенства находится в интервале между корней. Имеем систему:
Покажем решение на рисунке 7.4:
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3
Итак, получили интервал значений у: 
. Вернемся к исходным переменным:
(т. к. показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения)
(знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)
Ответ: 
4. Решение типовых неравенств
Пример 4:
Преобразуем согласно свойствам степени:
В данном случае несложно выделить функции f и g.
Аналогично предыдущему примеру, выполним деление:
Вводим замену:
Имеем квадратное неравенство:
Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения 
, решение неравенства находится в интервале вне корней. Имеем систему:
Покажем решение на рисунке 7.5:
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 4
Итак, получили интервал значений у: 
. Вернемся к исходным переменным:
(знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)
Ответ: 
Пример 5:
Перенесем все в левую часть:
Преобразуем согласно свойствам степени:
Вынесем за скобки 
:
Упростим выражение в скобках – приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
Имеем право домножить все неравенство на 6, т. к. это положительное число:
Кроме того, имеем право сократить неравенство на , т. к. показательная функция принимает всегда строго положительные значения, но важно при этом не забыть про ОДЗ, т. к. 
существует только при неотрицательных х. Таким образом, имеем систему:
Очевидно, что при 
знаменатель дроби положителен, отсюда имеем, что для выполнения второго неравенства необходимо 
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств более сложного уровня.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-neravenstva
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-neravenstva-bolee-slozhnye-sluchai
http://www.youtube.com/watch?v=oKpT2RJ30mU
http://www.youtube.com/watch?v=lLM6FIbCLoA
http://www.youtube.com/watch?v=PwjqUxtOqeQ
http://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-3-5-reshenie-pokazatelynh-neravenstv-privodyashtihsya-k-kvadratnm-neravenstvam.html
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-pokazatelnie-uravneniya-i-neravenstva.pptx
http://ov1098.jimdo.com/учащимся/11-класс-тесты/
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelno-stepennye-neravenstva
http://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/pokazatelnye-neravenstva-10903/re-8dffac80-6573-444f-98f1-8e33e104f3f6
http://www.uchportal.ru/load/0-0-0-39948-20
http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3