11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
Свойства показательной функции
Понятие логарифма, свойства логарифмической функции определяются свойствами показательной функции и зависят от них.
Напомним свойства показательной функции на конкретном примере:
Основание функции больше единицы, построим график (рис. 1):
Рис. 1. График функции
Свойства заданной функции:
1. Область определения: 
;
2. Область значений: 
;
3. Функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, которое и называется логарифмом.
Например:
В общем случае:
Определение логарифма, доказательство существования логарифмической функции
Теперь мы можем вспомнить определение логарифма в общем виде.
При выполнении поставленных условий уравнение имеет единственное решение:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Например:
Из всего вышесказанного можем сделать важный вывод:
На множестве 
существует функция 
, где а – положительное число, не равное единице.
Справа показательная функция, свойства которой мы повторили, основание а – положительное число, не равное единице, функция приобретает все положительные значения, отсюда следует, что функция, стоящая слева, существует на заданном множестве значений аргумента.
Например:
Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, ее свойства и график
Начнем изучение логарифмической функции с рассмотрения ее частного случая, а именно 
Составим таблицу для построения функции и ее исследования:
Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой: 
Остальные значения вычисляются аналогично.
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Построим график функции по полученным точкам (рис. 2):
Рис. 2. График функции 
Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, большим единицы, будут аналогичными.
Итак, свойства функции :
1. Область определения: 
;
2. Функция возрастает на всей области определения;
3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5. Функция непрерывна;
6. Область значений: 
;
7. Функция выпукла вверх.
Еще раз подчеркнем: под знаком логарифма может стоять только положительное число, сам логарифм может принимать любые значения.
Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.
Логарифмическая функция с основанием, лежащим в пределах от нулю до единицы, ее свойства и график
Перейдем к изучению логарифмической функции с основанием меньшим единицы, рассмотрим ее на конкретном примере:
Составим таблицу для построения функции и ее исследования:
Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:
Остальные значения вычисляются аналогично.
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
Построим график функции по полученным точкам (рис. 3):
Рис. 3. График функции 
Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до минус бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, принадлежащим промежутку от нуля до единицы, не включая границы, будут аналогичными.
Итак, свойства функции :
1. Область определения: ;
2. Функция убывает на всей области определения;
3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5. Функция непрерывна;
6. Область значений: ;
7. Функция выпукла вниз.
Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.
Решение примера
Теперь рассмотрим типовую задачу на свойства логарифмической функции.
Пример 1: найти множество значений функции:
То есть, имеем логарифмическую функцию, заданную не на всей области определения, а только на ее части.
Для наглядности построим график заданной функции (рис. 4):
Рис. 4. График функции 
Мы знаем, что заданная функция монотонно возрастает, т. к. основание логарифма больше единицы, т. е. для выполнения задания достаточно вычислить значения функции в граничных точках.
Ответ: при 
Итак, мы ввели понятие логарифмической функции, рассмотрели ее свойства и график.
Часть вторая. 1. Логарифм, определение, основные факты
Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции 
, где 
(основание степени а больше нуля и не равно единице).
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Примеры:
Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:
Напомним важные особенности и свойства показательной функции.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: 
:
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы 
:
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.
В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение 
функция достигает при единственном значении аргумента 
, корнем уравнения 
и есть логарифм:
По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.
Вывод:
Для монотонной прямой функции существует обратная функция 
. Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:
Получаем:
Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую – за у:
Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.
2. Свойства показательной функции
Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции 
.
Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
3. Логарифмическая функция как обратная к показательной
Итак, получили функцию, обратную заданной: 
. Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 3. Графики функций и 
4. Примеры нахождения обратной функции
Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.
Решим задачу при 
Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
Итак, получили функцию, обратную заданной: 
. Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 4. Графики функций 
и 
Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.
У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций и .
Рис. 5. Графики функций (слева) и (справа)
5. Связь прямой и обратной функции
Свойства прямой (показательной) функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция возрастает;
Выпукла вниз.
Свойства обратной (логарифмической) функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция возрастает;
Выпукла вверх.
Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.
Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.
Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie
http://www.youtube.com/watch?v=l7Zl61Iqbug
http://www.youtube.com/watch?v=FnEEydWzeoQ
http://u.900igr.net/zip/81479fcdadcadae8126874b628b19485.zip
http://menami.ru/wp-content/uploads/2015/06/analys_funkzii9.jpg