11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Комментарии преподавателя

Свой­ства ло­га­риф­мов. Ре­ше­ние более труд­ных задач

 1. Введение

На­пом­ним цен­траль­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Оно свя­за­но с ре­ше­ни­ем по­ка­за­тель­но­го урав­не­ния . По­ка­за­тель­ная функ­ция  мо­но­тон­на, каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b она до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та. Это зна­че­ние на­зы­ва­ют ло­га­риф­мом b по ос­но­ва­нию а: 

 2. Основные факты о логарифмах

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Вы­ра­же­ние  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние х из вы­ра­же­ния 1 вме­сто х в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

 3. Решение примера

При­ме­ры:

а) ;

б) ;

в)  при любом а;

г)  при любом а;

 4. Новые свойства логарифма  

По­вто­рим из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов. Здесь :

1.      Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

2.    Ло­га­рифм част­но­го:

3.      Ло­га­рифм сте­пе­ни:

Свой­ства ло­га­риф­мов ис­поль­зу­ют­ся при ре­ше­нии мно­го­чис­лен­ных ти­по­вых задач.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное вы­ра­же­ние ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов:

Из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов поз­во­ля­ют по­лу­чать новые свой­ства, новые фор­му­лы, новые тож­де­ства.

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Про­ло­га­риф­ми­ру­ем за­дан­ное ра­вен­ство по ос­но­ва­нию с:

Со­глас­но из­вест­но­му свой­ству вы­не­сем по­ка­за­те­ли сте­пе­ни как мно­жи­те­ли:

По­лу­чи­ли вер­ное ра­вен­ство, тож­де­ство до­ка­за­но.

Из по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния можно об­рат­ным путем по­лу­чить за­дан­ное.

 До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим левую часть. По­ме­ня­ем в ней со­мно­жи­те­ли ме­ста­ми, от этого суть вы­ра­же­ния не из­ме­нит­ся:

Те­перь пер­вый со­мно­жи­тель вне­сем под вто­рой ло­га­рифм как по­ка­за­тель сте­пе­ни:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

По­лу­чи­ли , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 2 – до­ка­зать тож­де­ство:

Со­глас­но толь­ко что вы­ве­ден­ной фор­му­ле имеем:

Зна­че­ние дан­но­го вы­ра­же­ния мы уже при­во­ди­ли в на­ча­ле урока:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Счи­та­ем, что все пе­ре­мен­ные при­ни­ма­ют ис­клю­чи­тель­но до­пу­сти­мые зна­че­ния.

Про­ло­га­риф­ми­ру­ем за­дан­ное ра­вен­ство по ос­но­ва­нию а:

Вы­не­сем по­ка­за­те­ли сте­пе­ни как со­мно­жи­те­ли со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма:

Пе­ре­не­сем все эле­мент­вы в левую часть:

Вы­не­сем мно­жи­тель за скоб­ки:

Со­глас­но толь­ко что до­ка­зан­но­му свой­ству имеем:

По­лу­чи­ли вер­ное ра­вен­ство.

При­мер 3 – ре­шить урав­не­ние:

Ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния поз­во­лит нам из­бе­жать в даль­ней­шем ти­по­вых оши­бок, по­это­му рас­смот­рим невер­ное и вер­ное ре­ше­ние.

Невер­ное ре­ше­ние:

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма, по­ка­за­тель сте­пе­ни вы­но­сим как со­мно­жи­тель:

Со­кра­тим:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Неслож­но до­га­дать­ся, что здесь по­те­рян один ко­рень, т. к. если  это ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния, то и  также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем, по­то­му что х стоит под квад­ра­том.

Вер­ное ре­ше­ние:

Ука­жем ОДЗ ис­ход­но­го урав­не­ния:

При ре­ше­нии пер­вым спо­со­бом мы по­те­ря­ли все от­ри­ца­тель­ные корни, когда вы­нес­ли по­ка­за­тель сте­пе­ни.

Здесь мы по­ста­вим мо­дуль, и ОДЗ не сузит­ся:

Вывод: при ре­ше­нии раз­лич­ных задач с ло­га­риф­ма­ми можно при­ме­нять все изу­чен­ные свой­ства и фор­му­лы, но очень важно сле­дить за ОДЗ.

 5. Типовые ошибки, как их избежать 

Чтобы из­бе­жать ти­по­вых оши­бок, рас­смот­рим неко­то­рые фор­му­лы:

На­при­мер:

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные новые свой­ства ло­га­риф­мов и их ис­поль­зо­ва­ние при ре­ше­нии кон­крет­ных задач. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-reshenie-bolee-trudnyh-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=ns7YnnicsJU

http://www.youtube.com/watch?v=qq8cJ8g5nbc

http://www.youtube.com/watch?v=O29X1z0w6ZE

http://www.youtube.com/watch?v=BmvyJurHLuc

http://www.cleverstudents.ru/logarithms/properties_of_logarithms.html

http://u.900igr.net/zip/50889604f88d66ce8cddc598c260da4d.zip

http://raragebu.science/pic-shkola-rf.narod.ru/images/mathematics/mathematics3.jpg

http://yukhym.com/ru/matematika/logarifm-primery.html

http://u.5klass.net/zip/65e7d51b6b52c07ec48ae8222a2ab4b2.zip

 

 

Файлы