11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
Свойства логарифмов. Решение более трудных задач
1. Введение
Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента. Это значение называют логарифмом b по основанию а:
2. Основные факты о логарифмах
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Напомним основное логарифмическое тождество.
Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
3. Решение примера
Примеры:
а) ;
б) ;
в) при любом а;
г) при любом а;
4. Новые свойства логарифма
Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :
1. Логарифм произведения:
2. Логарифм частного:
3. Логарифм степени:
Свойства логарифмов используются при решении многочисленных типовых задач.
Пример 1 – вычислить:
Преобразуем заданное выражение используя свойства логарифмов:
Известные нам свойства логарифмов позволяют получать новые свойства, новые формулы, новые тождества.
Доказать:
Доказательство:
Прологарифмируем заданное равенство по основанию с:
Согласно известному свойству вынесем показатели степени как множители:
Получили верное равенство, тождество доказано.
Из полученного выражения можно обратным путем получить заданное.
Доказать:
Доказательство:
Рассмотрим левую часть. Поменяем в ней сомножители местами, от этого суть выражения не изменится:
Теперь первый сомножитель внесем под второй логарифм как показатель степени:
Применим основное логарифмическое тождество:
Получили , что и требовалось доказать.
Пример 2 – доказать тождество:
Согласно только что выведенной формуле имеем:
Значение данного выражения мы уже приводили в начале урока:
Доказать:
Доказательство:
Считаем, что все переменные принимают исключительно допустимые значения.
Прологарифмируем заданное равенство по основанию а:
Вынесем показатели степени как сомножители согласно свойству логарифма:
Перенесем все элементвы в левую часть:
Вынесем множитель за скобки:
Согласно только что доказанному свойству имеем:
Получили верное равенство.
Пример 3 – решить уравнение:
Решение данного уравнения позволит нам избежать в дальнейшем типовых ошибок, поэтому рассмотрим неверное и верное решение.
Неверное решение:
Согласно свойству логарифма, показатель степени выносим как сомножитель:
Сократим:
По определению логарифма:
Несложно догадаться, что здесь потерян один корень, т. к. если это решение данного уравнения, то и также является решением, потому что х стоит под квадратом.
Верное решение:
Укажем ОДЗ исходного уравнения:
При решении первым способом мы потеряли все отрицательные корни, когда вынесли показатель степени.
Здесь мы поставим модуль, и ОДЗ не сузится:
Вывод: при решении различных задач с логарифмами можно применять все изученные свойства и формулы, но очень важно следить за ОДЗ.
5. Типовые ошибки, как их избежать
Чтобы избежать типовых ошибок, рассмотрим некоторые формулы:
Например:
Итак, мы рассмотрели различные новые свойства логарифмов и их использование при решении конкретных задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-reshenie-bolee-trudnyh-zadach
http://www.youtube.com/watch?v=ns7YnnicsJU
http://www.youtube.com/watch?v=qq8cJ8g5nbc
http://www.youtube.com/watch?v=O29X1z0w6ZE
http://www.youtube.com/watch?v=BmvyJurHLuc
http://www.cleverstudents.ru/logarithms/properties_of_logarithms.html
http://u.900igr.net/zip/50889604f88d66ce8cddc598c260da4d.zip
http://raragebu.science/pic-shkola-rf.narod.ru/images/mathematics/mathematics3.jpg
http://yukhym.com/ru/matematika/logarifm-primery.html
http://u.5klass.net/zip/65e7d51b6b52c07ec48ae8222a2ab4b2.zip