11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Проверка знаний. Логарифмы. Тест.

1 2 3 4 5

Логарифм степени ...

отрицательного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.
положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.
положительного числа равен частному показателя этой степени и логарифма ее основания.

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Логарифмы. Тест.

Комментарии преподавателя

Переход к новому основанию логарифма

1. Основные теоретические факты

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

2. Формула перехода к новому основанию

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Примеры:

при любом а;

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если оба – отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Иногда в задачах не указано, что и – положительные числа, тогда необходимо при раскрытии логарифма ставить модуль:

( – это любые числа кроме нуля, но их произведение должно быть положительным)

Перейдем к основной формуле данного урока.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Применим равносильные преобразования. Поскольку в знаменателе стоит логарифм, а он не может быть равен нулю, т. к. , имеем право домножить обе части на данный логарифм:

Согласно свойству логарифма, внесем сомножитель под знак логарифма как показатель степени:

Применим основное логарифмическое тождество:

Что и требовалось доказать.

3. Решение вычислительной задачи

Пример 1 – вычислить:

Чтобы воспользоваться свойством логарифма, нужно привести заданные логарифмы к одному основанию. Приведем второй логарифм к основанию 2:

Получим выражение:

Имеем сумму логарифмов с одинаковым основанием. Применим свойство:

4. Решение уравнения

Пример 2 – решить уравнение:

Очевидно, что необходимо выбрать новое основание и привести к нему все логарифмы, чтобы воспользоваться свойствами и решить уравнение. Выберем основание 2:

В результате преобразований получили уравнение:

Приведем подобные:

Разделим обе части на :

По определению логаримфа:

Итак, мы вывели и рассмотрели новую важную формулу – перехода к новому основанию логарифма.

Переход к новому основанию логарифма, решение задач

Часть вторая. 1. Основные теоретические факты

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция принимает все положительные значения. Она монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если – оба отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Напомним важную формулу – перехода к новому основанию логарифма:

Здесь

Например, вычислить:

Несложно заметить, что логарифмы в числителе и знаменателе имеют одно и то же основание, по формуле перехода получаем:

Переходим к следствиям из формулы перехода.

2. Первое следствие из формулы перехода

Следствие 1:

Здесь

Распишем по формуле перехода к новому основанию:

Что и требовалось доказать.

Иногда данное свойство используют в следующем виде:

3. Второе следствие из формулы перехода

Следствие 2:

Здесь

Применим формулу перехода к новому основанию, а именно, от основания к основанию а:

Что и требовалось доказать

4. Решение типовых задач

Рассмотрим важное уточнение для четных степеней:

Здесь

Пояснение:

Поскольку – четное число, допускаются как положительные, так и отрицательные значения b. Аналогично допускаются как положительные, так и отрицательные значения а, за исключением . Если мы не поставим в правой части модули, то а и b будут только положительными числами, область определения сузится.

Доказательство:

Переходим к новому основанию:

Важно, что с помощью модуля мы сохранили неизменной область определения, не сузили ее. Так мы можем предохранить себя от многочисленных типовых ошибок.

Формула перехода к новому основанию и следствия из нее широко используются при решении различных типовых задач.

Пример 1 – вычислить: