11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмические неравенства. Методы решения.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Логарифмические неравенства. Методы решения.

Комментарии преподавателя

Логарифмические неравенства

1. Важные опорные факты

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида (). Здесь t – независимая переменная, а – конкретное число, у – зависимая переменная, функция.

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ).

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

2. Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием большим единицы, пример

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Рис. 2. Иллюстрация решения примера

Ответ:

3. Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, пример

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству: