11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Проверка знаний. Решение логарифмических неравенств. Тест.

1 2 3 4 5

Область определения логарифмической функции - ...

множество всех чисел, D(f)=(−∞; +∞).
множество отрицательных чисел, D(f)=(−∞; 0).
множество всех положительных чисел, D(f)=(0;+∞).

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Решение логарифмических неравенств. Тест.

Комментарии преподавателя

Решение логарифмических неравенств

1. Введение

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т.е. функции вида (). Здесь t – независимая переменная, а= конкретное число, у – зависимая переменная, функция.

2. Основные опорные факты

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, . При монотонно убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции,, .

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

3. Решение простейшего логарифмического неравенства

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

То есть знак неравенства сохраняется.

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т.к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

4. Решение более сложных логарифмических неравенств

Пример 1 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Получаем неравенство:

Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:

Ответ:

Пример 2 – решить неравенство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы (). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учетом ОДЗ:

Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.

Пример 3 – решить неравенство:

Приведем второй член к основанию 5:

Получили неравенство:

Очевидна замена:

Имеем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.

Вернемся к исходным переменным:

Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ:

Пример 4 – решить неравенство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Преобразуем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями:

Ответ с учетом ОДЗ:

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых логарифмических неравенств.

Решение логарифмических неравенств (продолжение) 1. Введение

Пусть а – некоторое фиксированное число, при чем , а – основание логарифма. Логарифмическая функция монотонно возрастает. Тогда нам известно эквивалентное решение логарифмического неравенства:

Теперь пусть . Логарифмическая функция монотонно убывает:

2. Алгоритм решения простейших логарифмических неравенств с фиксированным основанием

Рассмотрим случай, когда основание логарифма зависит от х . Тогда нужно рассмотреть два случая:

Наша цель состоит в том, чтобы упростить полученную громоздкую совокупность.

3. Алгоритм решения логарифмических неравенств с переменным основанием, два способа

Напомним важный опорный факт:

Нам потребуются следующие выражения:

4. Решение примера

Теперь нам проще решить следующую задачу.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Мы определили, что заданное неравенство эквивалентно следующей совокупности:

Преобразуем:

Согласно опорному факту, полученная совокупность эквивалентна системе:

Что и требовалось доказать.

5. Решение нестрогого неравенства с переменным основанием

Пример 1 – решить неравенство:

Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Решим неравенство двумя способами.

Способ 1:

Проиллюстрируем решение:

Рис. 1. Иллюстрация к решению примера 1

Ответ:

Составим эквивалентную систему:

Проиллюстрируем решение дробно-рационального неравенства:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Получаем решение системы:

Ответ:

Теперь рассмотрим решение нестрогого логарифмического неравенства , где

Заданному неравенству эквивалентна система:

6. Решение примера

Пример 2 – решить неравенство:

Решаем с помощью эквивалентной системы (второй способ). Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием: