11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.
Комментарии преподавателя
1. Определение натурального логарифма
Определение.
Натуральным мы будем называть логарифм с основанием .
Напоминание: Что такое ? Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию . Число иррациональное. В чем его особенность? К графику касательная в точке наклонена под градусом к оси . Рис. 1.
Рис. 1. Касательная к графику функции
Так вот, если касательная наклонена под градусом к оси , то основание этой функции есть число .
Производная в точке : .
И то есть скорость роста функции в точке равна значению функции в этой же точке.
Мы вспомнили, что такое число – основание натурального логарифма.
Теперь дадим строгое определение и обозначение.
Определение.
Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию .
Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.
Примеры:
Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.
Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть
2. Функция y=ln x
Функция . Во-первых, допускаются только положительные значения . Напомним, ≈2,72 – иррациональное число. Для начала, чтобы построить график, используем таблицу.
1 |
|||||
0 |
1 |
2 |
-1 |
-2 |
Если ;
Если ;
то вычисляем:
;
Если , то
.
Таким образом, построим график функции по точкам и понимаем характер изменения функции: рис. 2.
Рис. 2. График функции
Прочтем график функции и перечислим ее свойства:
3. Свойства функции y=ln x
Вот график:
Рис. 3. График функции
Функция определена, когда ;
Функция возрастает на всей области определения (0,∞);
Функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
Не существует ,
Функция непрерывна;
;
Функция выпукла. Если рассмотреть отрезок (A;B), то функция находится над отрезком;
Функция дифференцируема. То есть в любой точке есть касательная.
4. Дифференцирование функции y=ln x
Логарифмическую функцию с натуральным основанием можно дифференцировать. Давайте научимся это делать.
Для этого докажем формулу .
Доказательство.
Мы знаем, что ;
Значит, производная от сложной функции ;
Также знаем основное логарифмическое тождество:
;
Продифференцируем тождество :
1=
1=
Выразим :
.
Формула доказана. Теперь дифференцировать логарифмические функции с натуральным основанием мы можем.
В итоге имеем две важные формулы:
;
Значит, мы умеем решать любые типовые задачи на производную логарифмической функции с основанием .
5. Некоторые примеры на нахождение производной
Найти производную.
=;
6. Типовая задача на нахождение производной в точке
Найти производную функции в точке:
Дано:
Найти:
Решение:
1. Напомним формулу производной от дроби:
Найдем отдельно производные от числителя и знаменателя:
;
;
2.
3. Можно упрощать, а можно просто подставить 0.
Ответ:
7. Задача на касательную
Найти касательную:
Дано:
Найти: уравнение касательной к данной прямой в данной точке
Решение.
У нас есть стандартная методика.
Есть уравнение касательной:
Все действия данной методики направлены на то, чтобы найти нужные нам элементы касательной:
Находим точку касания. Так как , то
Точка касания найдена.
Находим производную в любой точке
Находим производную в конкретной точке :
Находим уравнение касательной:
– таково уравнение касательной.
Теперь дадим иллюстрацию на чертеже:
Как построить график функции ?
Надо стандартную кривую сдвинуть влево на единицу по оси (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация примера
Получим кривую. Ее асимптота . Получили и саму кривую и касательную. То есть, иллюстрация дана.
Итак, мы познакомились с натуральными логарифмами, изучили функцию y=ln x.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/naturalnye-logarifmy-funktsiya-y-ln-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie
http://www.youtube.com/watch?v=AMPDXpOUov8
http://www.youtube.com/watch?v=Lp1N7buMCHQ
http://www.youtube.com/watch?v=eLK6wIjqnHI
http://www.youtube.com/watch?v=FnWRamfdwmI
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-naturalny-logarifm.pptx
http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/ln/
http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3
http://u.900igr.net/zip/91f4a1bf7b1b273b1481b8ccbfae39d7.zip