11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Комментарии преподавателя

 

 1. Определение натурального логарифма

Опре­де­ле­ние.

На­ту­раль­ным мы будем на­зы­вать ло­га­рифм с ос­но­ва­ни­ем .

На­по­ми­на­ние: Что такое ? Да­вай­те вспом­ним. Итак, рас­смот­рим функ­цию . Число ир­ра­ци­о­наль­ное. В чем его осо­бен­ность? К гра­фи­ку  ка­са­тель­ная в точке  на­кло­не­на под гра­ду­сом  к оси . Рис. 1.

Рис. 1. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции 

Так вот, если ка­са­тель­ная на­кло­не­на под гра­ду­сом  к оси , то ос­но­ва­ние этой функ­ции есть число .

Про­из­вод­ная в точке : .

И то есть ско­рость роста функ­ции в точке  равна зна­че­нию функ­ции в этой же точке.

Мы вспом­ни­ли, что такое число  – ос­но­ва­ние на­ту­раль­но­го ло­га­риф­ма.

Те­перь дадим стро­гое опре­де­ле­ние и обо­зна­че­ние.

Опре­де­ле­ние.

На­ту­раль­ным ло­га­риф­мом (обо­зна­ча­ет­ся ln) на­зы­ва­ет­ся ло­га­рифм по ос­но­ва­нию .

Несколь­ко при­ме­ров, чтобы при­вык­нуть к но­во­му обо­зна­че­нию.

При­ме­ры:

Итак, мы дали стро­гое опре­де­ле­ние на­ту­раль­но­му ло­га­риф­му и при­ве­ли несколь­ко при­ме­ров.

Те­перь изу­чим ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с на­ту­раль­ным ос­но­ва­ни­ем, то есть 

 2. Функция y=ln x

Функ­ция . Во-пер­вых, до­пус­ка­ют­ся толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния . На­пом­ним, ≈2,72 – ир­ра­ци­о­наль­ное число. Для на­ча­ла, чтобы по­стро­ить гра­фик, ис­поль­зу­ем таб­ли­цу.

	1
	0	1	2	-1	-2

 

Если ;

Если ;

то вы­чис­ля­ем:

;

Если , то

.

Таким об­ра­зом, по­стро­им гра­фик функ­ции по точ­кам и по­ни­ма­ем ха­рак­тер из­ме­не­ния функ­ции: рис. 2.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции

Про­чтем гра­фик функ­ции и пе­ре­чис­лим ее свой­ства:

 3. Свойства функции y=ln x

Вот гра­фик:

Рис. 3. Гра­фик функ­ции

Функ­ция опре­де­ле­на, когда ;

Функ­ция воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния (0,∞);

Функ­ция не огра­ни­че­на ни снизу, ни свер­ху;

Не су­ще­ству­ет ,

Функ­ция непре­рыв­на;

;

Функ­ция вы­пук­ла. Если рас­смот­реть от­ре­зок (A;B), то функ­ция на­хо­дит­ся над от­рез­ком;

Функ­ция диф­фе­рен­ци­ру­е­ма. То есть в любой точке есть ка­са­тель­ная.

 4. Дифференцирование функции y=ln x

Ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с на­ту­раль­ным ос­но­ва­ни­ем можно диф­фе­рен­ци­ро­вать. Да­вай­те на­учим­ся это де­лать.

Для этого до­ка­жем фор­му­лу .

До­ка­за­тель­ство.

Мы знаем, что ;

Зна­чит, про­из­вод­ная от слож­ной функ­ции ;

Также знаем ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

;

Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем тож­де­ство :

1=

1=

Вы­ра­зим :

.

Фор­му­ла до­ка­за­на. Те­перь диф­фе­рен­ци­ро­вать ло­га­риф­ми­че­ские функ­ции с на­ту­раль­ным ос­но­ва­ни­ем мы можем.

В итоге имеем две важ­ные фор­му­лы:

;

Зна­чит, мы умеем ре­шать любые ти­по­вые за­да­чи на про­из­вод­ную ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с ос­но­ва­ни­ем .

 5. Некоторые примеры на нахождение производной

Найти про­из­вод­ную.

=;

 6. Типовая задача на нахождение производной в точке

Найти про­из­вод­ную функ­ции в точке:

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние:

1. На­пом­ним фор­му­лу про­из­вод­ной от дроби:

Най­дем от­дель­но про­из­вод­ные от чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля:

;

;

 

2.

3. Можно упро­щать, а можно про­сто под­ста­вить 0.

Ответ: 

 7. Задача на касательную

Найти ка­са­тель­ную:

Дано: 

Найти: урав­не­ние ка­са­тель­ной к дан­ной пря­мой в дан­ной точке

Ре­ше­ние.

У нас есть стан­дарт­ная ме­то­ди­ка.

Есть урав­не­ние ка­са­тель­ной:

Все дей­ствия дан­ной ме­то­ди­ки на­прав­ле­ны на то, чтобы найти нуж­ные нам эле­мен­ты ка­са­тель­ной:

На­хо­дим точку ка­са­ния. Так как , то

Точка ка­са­ния най­де­на.

На­хо­дим про­из­вод­ную в любой точке 

На­хо­дим про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке : 

На­хо­дим урав­не­ние ка­са­тель­ной: 

 – та­ко­во урав­не­ние ка­са­тель­ной.

Те­перь дадим ил­лю­стра­цию на чер­те­же:

Как по­стро­ить гра­фик функ­ции ?

Надо стан­дарт­ную кри­вую  сдви­нуть влево на еди­ни­цу по оси  (рис. 4).

 

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция при­ме­ра

По­лу­чим кри­вую. Ее асимп­то­та . По­лу­чи­ли и саму кри­вую и ка­са­тель­ную. То есть, ил­лю­стра­ция дана.

Итак, мы по­зна­ко­ми­лись с на­ту­раль­ны­ми ло­га­риф­ма­ми, изу­чи­ли функ­цию y=ln x. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/naturalnye-logarifmy-funktsiya-y-ln-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie

http://www.youtube.com/watch?v=AMPDXpOUov8

http://www.youtube.com/watch?v=Lp1N7buMCHQ

http://www.youtube.com/watch?v=eLK6wIjqnHI

http://www.youtube.com/watch?v=FnWRamfdwmI

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-naturalny-logarifm.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/ln/

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

http://u.900igr.net/zip/91f4a1bf7b1b273b1481b8ccbfae39d7.zip

 

Файлы