8 класс. Алгебра. Решение квадратных неравенств.
8 класс. Алгебра. Решение квадратных неравенств.
Комментарии преподавателя
На данном уроке будет рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнаете, что решение квадратных неравенств полностью базируется на свойствах квадратичных функций.
Тема: Неравенства
Урок: Решение квадратных неравенств
1. Что такое квадратное неравенство
Квадратными называются неравенства вида 
Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: 
.
2. Пример №1
Решить неравенство: 
Умножаем обе части неравенства на 
, чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем: 
Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая 
.
Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента:
Рассмотрим функцию: 
, применяем теорему Виета,
Раскладываем на линейные множители: 
Построим график функции (Рис. 1):
Рис. 1. График квадратичной функции
I способ решения неравенства
Произведение двух скобок – число отрицательное.
Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.
Если 
, тогда 
или 
, тогда
Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.
или 
Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):
Рис. 2. Решение системы линейных неравенств
Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы: 
Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):
Рис. 3. Решение системы линейных неравенств
Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.
Ответ:
II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью 
), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью ). Так, заданное неравенство выполняется для всех , лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена: 
Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.
3. Пример №2
Решить неравенства: 1) 
; 2) 
Построим график функции (Рис. 4):
Рис. 4. График квадратичной функции
Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).
1. 
или 
2. 
нет решений
4. Пример №3
Рассмотрим функцию: 
. Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.
Построим график функции (Рис. 5)
Рис. 5. График квадратичной функции
Функция везде положительная и только в одной точке при 
, она равна нулю.
Решить неравенства:
. Решением являются все значения 
, кроме . Ответ:
или 
Решение неравенства: 
Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.
Решение неравенства 
5. Пример №4
Рассмотрим функцию: 
. Дискриминант этой функции больше нуля.
.
Корнями здесь являются: 
График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью , а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью . Значит, функция при всех этих отрицательна. В точках 
функция равна нулю.
Рис. 6. График квадратичной функции
Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:
1.
; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства: 
или 
2.
; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение 
.
6. Пример №5
Рассмотрим функцию: 
. Дискриминант этой функции меньше нуля. 
. Функция не имеет корней
График функции:
График этой функции – парабола, ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).
Рис. 7. График квадратичной функции
Выделим полный квадрат: 
. Если квадрат числа – величина неотрицательная, то 
при всех значениях 
Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где 
.
1. 
. Решение:
2. 
. Нет решений.
7. Пример №6
Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.
. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.
Решение неравенства:
Рассмотрим функцию: 
. Корни равны 
Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).
Рис. 8. График квадратичной функции
Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.
при 
или 
Ответ: или
Подведение итога урока
На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/reshenie-kvadratnyh-neravenstv?konspekt&chapter_id=17
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=5b4kAAsOXXs