11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Проверка знаний. Первообразная, интеграл.Тест.

1 2 3 4 5

По данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x). ...

Такая функция F(x) называется основной для функции f(x).
Такая функция F(x) называется исходной для функции f(x).
Такая функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Первообразная, интеграл.Тест.

Комментарии преподавателя

1. Идея и методы решения задач, приводящих к понятию определенных интегралов

Первая задача. Задача о площади криволинейной трапеции.

Вторая задача. Задача о массе неоднородного стержня.

Третья задача. Задача о перемещении точки.

Мы рассмотрим идею и метод для решения этих задач.

2. Задача 1

Первая задача. (О площади криволинейной трапеции)

Формулируется следующим образом:

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: на отрезке ,

– ось . Найти площадь . Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к первой задаче

Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка на равных частей. Отрезок разбивается на равных частей точками .

Величина .

Важно отметить особенности построения. Если , независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.

Второе действие. Зафиксируем и приближенно найдем площадь в

Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [] мы заменим значением функции в левом конце . Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.

Площадь первого прямоугольника .

Площадь второго прямоугольника .

И так далее.

Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем:

. Итак, при фиксированном примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?

Устремим . Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции . И сумма будет стремиться к искомой площади. Более точно: .

3. Задача 2

Вторая задача. (О вычислении массы неоднородного стержня ).

Стержень неоднородный. Разместим его в координатной плоскости, как показано на рисунке.

Рис. 2. Иллюстрация ко второй задаче

Нам дано: Плотность , .

Найти: Массу стержня.

Рассмотрим частный случай, когда стержень однородный (). Тогда масса стержня легко считается. . Но у нас стержень неоднородный, величина – непостоянная, надо найти массу такого стержня. Метод решения этой задачи аналогичен методу решения, который мы использовали в первой задаче. А именно: разбиение стержня на равных частей с почти одинаковой плотностью на отрезке . Но массу стержня здесь мы умеем считать . Таким образом, разбили стержень и умеем считать массу каждого маленького отрезка этого стержня. Далее, как и в первой задаче, проведем необходимые вычисления на каждом отрезке.

;

………………

.

Складываем, получаем:

.

Ясно, что мы получили примерное значение искомой величины. Точность увеличивается, если увеличивается , . . Более точно:

4. Задача 3

Третья задача (о перемещении точки)

Дано: скорость точки .

Найти: длину пути .

Суть задачи заключается в том, что по скорости надо найти длину пути.

Например, мы едем на машине, скорость в каждый момент времени мы знаем. Нужно вычислить путь.

Решение.

Рис. 3. Иллюстрация к третьей задаче

Разбиваем отрезок на равных отрезков ;

Далее вычисляем путь на каждом из отрезков

;

………………

.

Если отрезок маленький, то значение скорости – почти постоянная величина.

Суммируем все пути:

. Более точно: .

5. Одна математическая модель для трех задач

Итак, мы рассмотрели три задачи, которые описываются с помощью одной и той же математической модели (рис. 4).

Рис. 4. Математическая модель

О площади под кривой . Была дана функция Нужно было найти площадь криволинейной трапеции.

О массе стержня . Здесь – плотность. Требовалось найти массу . Масса равнялась площади под этой кривой.

О перемещении точки. Была дана . Скорость известна в каждый момент времени. Нужно было найти перемещение. Перемещение равнялось площади : .

6. Общий метод решения

То есть решение трех задач – это нахождение данной площади. Напомним метод, с помощью которого мы решали и пытались решить каждую из трех задач.

Общий метод решения задач (рис. 5):

Рис. 5. Общий метод решения задач

Разбиение отрезка на равных отрезков. Каждое Δx одинаковой длины.

Вычисление . То есть вычисление площади каждого из прямоугольников, площади под ступенчатой линией.

.

Если мы сумеем найти предел, то мы получим искомую площадь криволинейной трапеции: .

Обсудим все же идею суммирования:

Вот мы находим и устремляем . Но что это означает?

Каждый прямоугольник фиксирован, если – величина постоянная. Фиксирована высота и основание. Если , то сторона прямоугольника почти что равна нулю. И получается, что мы складываем почти отрезки. Во что же превращается прямоугольник, если почти равна нулю? Он превращается почти в отрезок. Получается, мы складываем бесконечно много площадей бесконечно малых.

Можно задать вопрос: существует ли такой предел таких сумм, которые называются интегральными? На школьном уровне нам понятно, что предел существует из геометрических соображений. И это площадь под криволинейной трапецией. Особую значимость представляет сам принцип бесконечного разбиения и суммирования бесконечного числа бесконечно малых площадей. И в результате, рано или поздно, мы получим искомую площадь.

В частном случае мы уже сейчас можем находить площади криволинейных трапеций.