11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Проверка знаний. Понятие определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Тест.

1 2 3 4 5

Производная результата интегрирования ...

не равна подынтегральной функции.
равна подынтегральной функции.
равна подынтегральной функции, взятой с противоположным знаком.

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Понятие определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Тест.

Комментарии преподавателя

1. Напоминание о 3 задачах, рассмотренных на предыдущем уроке

Напомним три задачи, рассмотренные на прошлом уроке, которые сводятся к нахождению одной и той же площади криволинейной трапеции.

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции

О площади под кривой

Дано: .

Найти: .

О массе стержня

Дано:

Найти:

О перемещении точки по прямой

Дано:

Найти: .

2. Метод решения

Таким образом, если мы сумеем найти площадь под кривой, площадь криволинейной трапеции, мы решим эти три, а также многие другие задачи.

Рис. 2. Метод решения

Напомним метод решения. Он заключается в следующем:

Разбить отрезок на равных частей:

Сосчитать , то есть площадь подступенчатой ломаной.

Найти:

Прежде чем найти указанный предел, примем важное определение и переобозначение.

Рассмотрим интегральную сумму:

Площадь криволинейной трапеции записывается следующим образом:

3. Определение определенного интеграла

Определение: Определенный интеграл от функции по отрезку – это предел интегральных сумм при .

Обсудим каждый элемент введенного определения:

a, b – пределы интегрирования.

площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции в пределах от до .

4. Решение задач через определенный интеграл, физический и геометрический смысл определенного интеграла

Выпишем решение трех задач через определенный интеграл.

(геометрический смысл определенного интеграла).

Масса неоднородного стержня, .

Перемещение точки вдоль прямой, если известна скорость, (геометрический и физический смысл определенного интеграла).

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, а с ней и площадь криволинейной трапеции, для начала рассмотрим теорему.

5. Теорема о вычислении определенного интеграла

Теорема: Если – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а – ее первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке, то есть: