8 класс. Алгебра. Приближенные значения действительных чисел. Стандартный вид числа.
8 класс. Алгебра. Приближенные значения действительных чисел. Стандартный вид числа.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы рассмотрим тему «Приближенные значения действительных чисел». В нем вспомним основные сведения о действительных числах и выясним, какие из них, зачем и как надо приближать
Введение
Различают:
N {1; 2; 3; …} – натуральные числа
Z {0; ±1; ±2; …} – целые числа
Q {±
; ±4; …
; n ∈ N; m ∈ Z} – рациональные числа
N ⊂ Z ⊂ Q
Выясним, что такое рациональное число. Например,
…
= 0,333… = 0,(3)
= 1 
= 1,2(0)
Рациональное число может быть представлено в десятичном виде. Это бесконечная десятичная дробь, но периодическая, и десятичное представление данного числа – единственное.
Надо уметь переходить от одной формы представления числа к другой.
Иррациональные числа
Существуют также нерациональные, или иррациональные, числа, которые не представимы в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число – это бесконечная, непериодическая десятичная дробь. Для обозначения действительного числа существуют различные символы, буквы. Например,
≠ ; π; x
Для работы с такими иррациональными числами их приближают близкими рациональными числами.
Пример 1
= 1,414…
Выпишем приближенные значения данного числа:
≈ 1,4 1,42 = 1,96
≈ 1,41 1,412 = 1,9881 ≈ 2
≈ 1,42 1,422 = 2,0164 ≈ 2
Итак, имеет бесконечное число знаков, выписать которые невозможно. Для работы с его приближают указанные выше приближения, и при возведении в квадрат, мы получаем 2 с недостатком или избытком.
Проверим (рис. 1):
Рис. 1. Числовая ось
Мы видим, что точка М (1,414) ближе к точке А (), чем точки В (1,4) и С (1,41).
Погрешность приближения
Возможно приближение по недостатку и избытку.
Например,
1,41 ≈ , но 1,41 < (по недостатку)
1,42 ≈ , но 1,42 > (по избытку).
Определение:
Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называется модуль разности между точным значением величины х и её приближенным значением величины а (
).
Пример. ≈ 1,4; 
= 
– абсолютная погрешность (длина AB)
≈ 1,42; 
абсолютная погрешность (длина DA) (рис. 2)
Рис. 2. Погрешности на числовой оси
Правило округления
Когда нужно брать приближение по недостатку, а когда – по избытку? Ответ находится в правиле округления.
Правило округления
Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку; если первая отбрасываемая цифра ≥5, то нужно брать приближение по избытку.
Пример.
1. ≈ 1,41
Это приближение по правилу округления, и оно более точное.
2. ≈ 1,42
Это приближение по правилу округления, и оно менее точное.
Действовать надо отталкиваясь от правила округления.
Откуда взялось 
и π
– это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1.
Число π еще в III в. до н.э. Архимед опытным путем установил и доказал, что в окружности отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная. Это отношение, 
, и обозначается числом π. Отсюда следует, что 
(длина окружности) = 2πR.
Установили, что π – число иррациональное. Оно равно:
π ≈3,141592…
Наша задача – взять приближенное значение данного числа. В этом нам поможет еще одно важное определение.
Определение:
Если 
– приближенное значение числа 
и ≤ h, то говорят, что погрешность приближения не превосходит h, или что число равно с точностью до h.
Пример. π ≈3,141592
Используя правило округления
1. π ≈3,142 – с точностью до 0,001
2. π ≈3,14 – с точностью до 0,01
3. Архимед установил, что 
Доказано: 
– приближение числа π с точностью до 0,002.
То есть, 
≤ 0,002
4. π ≈3,14 с точностью до 0,01
Это значит, что
Вывод
Мы рассмотрели приближение действительных чисел, выяснили, какие числа в первую очередь надо приближать. Это иррациональные числа, потому что их запись – это бесконечное число десятичных знаков. Иррациональное число – это бесконечная, непериодическая десятичная дробь. Мы подробно рассмотрели и π. Приближение остальных иррациональных чисел осуществляется таким же образом.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/priblizhennye-znacheniya-deystvitelnyh-chisel?konspekt&chapter_id=17
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=NFkTwcgMhBI